Πάει και το Πυθαγόρειο θεώρημα..

Ο φίλτατος i-fallos θυμήθηκε mail που του χα στείλει όταν πρωτοξεκινήσαμε το blog. Στο mail αυτό παρέθετα τις απόψεις κάποιου γραφικού τύπου ο οποίος υποστήριζε ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα. Το πόνημά του είναι δυστυχώς μνημείο στην ανακρίβεια, τον παραλογισμό, και τελικά την επηρμένη χαζομάρα.. Αδυνατώ να σχολιάσω το παραμικρό στη συγκεκριμένη συλλογιστική -όπου "συλλογιστική" όρος που χρησιμοποιείται κατ οικονομία-

Ιδού :

Ας μεταφέρουμε τον προβληματισμό, που δημιουργεί η αναφορά του διατυπωμένου αναπότρεπτου φυσικού νόμου, ενεργώντας αντικατάσταση των σφαιρών ή των οχημάτων με τετράγωνα, ώστε να έλθουμε στη γεωμετρία και ειδικότερα στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Θα ξεκινήσω απ` ευθείας με την ανατροπή του περίφημου Πυθαγορείου θεωρήματος, ώστε να έχετε βάση για τις πιθανές και αναγκαίες θεωρητικές με τον εαυτό σας ή τους συναδέλφους σας, συζητήσεις.
Εργαλεία, αποκλειστικά, κανόνας και διαβήτης.
Μέσα στα πλαίσια πρακτικών και θεωριών της σημερινής γεωμετρίας, έστω ότι έχουμε 4 τετράγωνα, εμβαδού 1 τετραγωνικού μέτρου το καθένα. Έστω επίσης, ότι έχουμε και 1 ακέραιο τετράγωνο 4 τετραγωνικών μέτρων:
Πρόβλημα (Το απλούστερο δυνατό και της γεωμετρίας και της αριθμητικής):
Το άθροισμα των εμβαδών των 4 τετραγώνων του 1 τετραγωνικού μέτρου, ισούται με το εμβαδόν του 1 ακεραίου τετραγώνου 4 τετραγωνικών μέτρων;
Με άλλα λόγια, διατυπωμένο το ερώτημα χωρίς μαθηματικό ύφος, μπορούμε πρακτικά ή θεωρητικά να ενώσουμε ή συνθέσουμε (άθροιση) 4 ίσα τετράγωνα του 1τ.μ. το καθένα και να έχουμε σαν έργο – αποτέλεσμα της σύνθεσης, 1 νέο τετράγωνο εμβαδού 4 τ.μ., ακριβώς ίδιο με το δοσμένο, ώστε να ισχύσει η ισότητα;
Μέχρι σήμερα, η απάντηση ήταν και εξακολουθεί να είναι καταφατική.
Έρχομαι όμως τώρα, να καταθέσω την άποψη και να την αιτιολογήσω, ότι η απάντηση όχι πρέπει να είναι αρνητική, αλλά είναι αρνητική.
Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει, καθώς είναι από τη φύση αδύνατο τα 2 ζεύγη των κατά κορυφή γωνιών να «εφάπτονται» και τα 2 ταυτόχρονα. Ή το ένα ζεύγος θα εφάπτεται ή το άλλο ζεύγος θα εφάπτεται. Και τα 2 μαζί, σαν κύρια απαίτηση για την πλήρωση του επιπέδου και την ταυτόχρονη δημιουργία τέλειου τετράγωνου σχήματος σαν αποτέλεσμα, δεν είναι με φυσικό τρόπο δυνατό να συμβεί ποτέ.
Εν προκειμένω ενεργοποιείται ο φυσικός νόμος τον οποίο υπενθυμίσαμε προηγουμένως, καθώς αντιλαμβανόμαστε, ότι όπως ισχύει για σφαίρες, τρένα, αυτοκίνητα, ισχύει και για τα τετράγωνα. Πρόκειται λοιπόν για αναπότρεπτο φυσικό νόμο με καθολική εφαρμογή.
Αν αντικαταστήσουμε τις 4 ορθές γωνίες, με 4 βελόνες, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο ακριβώς. Θα μας είναι από τη φύση αδύνατο να δημιουργήσουμε επαφή, αμφότερων των (2) ζευγών από βελόνες.
Διαπιστούμενες άμεσες συνέπειες επομένως αυτής της φυσικής αδυνατότητας, είναι:
1. Αν εφάπτεται το 1 ζεύγος, να μην υπάρχει τέλειο τετράγωνο σχήμα στην περιφέρεια του τετραγώνου, οπότε έχουμε 4 τ.μ. εμβαδόν, αλλά όχι τέλειο τετράγωνο.
2. Αν δεν εφάπτεται κανένα από τα ζεύγη και τα έχουμε συγκλίνει στο πλησιέστερο δυνατό σημείο, η ύπαρξη απόστασης μεταξύ των κορυφών των ορθών κατά κορυφή γωνιών των ζευγών, καταστρέφει με άλλο τρόπο το ζητούμενο αποτέλεσμα που προβλέπει καταφατική απάντηση. Εμφανίζεται κενό στη μέση του τετραγώνου, το οποίο αμβλύνει τις διαστάσεις της περιφέρειας του σύνθετου αποτελέσματος και επομένως και πάλι η απάντηση στο διατυπωμένο πρόβλημα είναι αρνητική.
Σημειώνω, ότι η βασικά απαίτηση για ταυτόχρονη επαφή αμφότερων των ζευγών των κατά κορυφή ορθών γωνιών, δεν παρεμβάλει καθόλου την έννοια χρόνος στα μαθηματικά, αλλά έχει την έννοια, ότι κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες χρήσης κανόνα και διαβήτη επί των σχημάτων, αυτά είναι αναγκαίο να βρεθούν μαζί σε κάποια στιγμή, είτε απ` ευθείας, είτε σταδιακά, σαν εφαπτόμενα ζεύγη επί του ίδιου δημιουργούμενου σχήματος, που περιγράφουμε σαν αποτέλεσμα.
Έφερα αυτό το παράδειγμα, ενώ θα μπορούσα να φέρω αναφορικά με τη γεωμετρία και άλλο απλούστερο, όπως π.χ. τετράγωνο το οποίο τέμνουμε με διαγώνιες διχοτόμους.
Μετά την χρήση των τομών, το τετράγωνο αδυνατεί πλέον να ανασυσταθεί στο σχήμα από το οποίο προήλθε (αδυνατούμε δηλαδή να το ξαναφτιάξουμε), εξαιτίας του ίδιου ακριβώς λόγου που εμφανίζει το φυσικό εμπόδιο που εν προκειμένω ακούει στην λεκτική περιγραφή «αδυναμία επαφής αμφότερων των ζευγών των κατά κορυφή γωνιών». Αυτό σημαίνει ότι η εμφανιζόμενη αδυναμία δεν οφείλεται στη «φθορά» εξαιτίας των τομών, αλλά πρόκειται για τη φυσική αδυναμία που σαν φυσικό νόμο περιγράψαμε, αφού στην αρχική διατύπωση του προβλήματος, όπου ισχύουν ακριβώς τα ίδια, τα τετράγωνα προς σύνθεση – άθροιση, εδόθησαν προς σύνθεση κατά την εκφώνηση, τέλεια και ακέραια εξαρχής.
Αν απευθυνόμουν σε παιδιά του σχολείου, θα τους έλεγα και θα τους ανέλυα το γιατί, αυτό σημαίνει το λάθος του Πυθαγορείου θεωρήματος, παρά τις 370 ταξινομημένες αποδείξεις της ορθότητάς του. Θα τους έλεγα επίσης ότι αυτό εξαφανίζει αυτόματα και τα άρρητα φυσικά μεγέθη και τους άρρητους αριθμούς. Όμως σε σας τους μαθηματικούς, ενώ το λέω με αυτό τον έμμεσο τρόπο, δεν προβαίνω στην ανάλυση της άποψης ότι καταργούνται τα άρρητα φυσικά μεγέθη και οι αριθμοί, αφού το αντιλαμβάνεστε με πολύ μεγαλύτερη ευκολία από εμένα, που έχω κάνει την παραπάνω διαπίστωση. Βέβαια κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι υπάρχει και το άρρητο π του κύκλου, όμως η κατάργηση των άρρητων πιστέψτε με είναι καθολική και ελπίζω σε άλλη ευκαιρία να σας δείξω, ότι ούτε στη σχέση κύκλου και ευθείας είναι δυνατοί να εμφανιστούν, με τη συνοδεία αιτιολογίας, εναρμονισμένης με τη φυσική πραγματικότητα, άρρητοι αριθμοί. Αυτή μου την άποψη σχετικά με το π δεν τη θέτω στην κρίση σας, καθώς προς το παρόν δεν εμφανίζω τις σχετικές αποδείξεις.
Ένα ακόμα απότοκο συμπέρασμα της φυσικής αδυναμίας διπλασιασμού του τετραγώνου, αφού δεν εμφανίζεται ισχυρό το Πυθαγόρειο θεώρημα, σεβαστοί καθηγητές μαθηματικών, είναι η απάντηση που σχετίζεται με το Δήλιο πρόβλημα. Για τους ίδιους ακριβώς φυσικούς λόγους, που εμφανίζονται σαν εμπόδιο στον διπλασιασμό του τετραγώνου, εμφανίζονται και για τον διπλασιασμό του κύβου (Δήλιο πρόβλημα) αλλά και για τον τετραπλασιασμό του ή οκταπλασιαμό του.
Καθολικά τα ακέραια σχήματα, δεν μπορούν να υποστούν μετασχηματισμούς, τουλάχιστον κατά τρόπο που η αιτία να είναι ισοδύναμη με το αιτιατό (αποτέλεσμα). Αυτό το συμπέρασμα που αφορά τους μετασχηματισμούς στα λεγόμενα τέλεια ή απόλυτα σχήματα, τετράγωνο και κύβο, διαχέεται στο σύνολο των επίπεδων και στέρεων σωμάτων ήτοι, αποτελεί συμπέρασμα επιστημονικό που εγείρει ισχυρές αξιώσεις (αποδεδειγμένο πειραματικά) να καταστεί περιεχόμενο και της επιπεδομετρίας και της στερεομετρίας.
Η άποψη που μπορεί να κατατεθεί, σαν αιτιολογία του σημερινού συμβιβασμού είναι: Μα, τι μπορούμε να κάνουμε, αν αφαιρέσουμε τους μετασχηματισμούς των σχημάτων από τη γεωμετρία; Δεν βλέπεις κύριε ότι η γεωμετρία θα πάψει να είναι λειτουργική;
Η απάντηση σε αυτή τη σύνθετη απορία - διαπίστωση, η οποία δηλαδή εκτός από ερώτηση εμπεριέχει και την απάντηση αυτού που την καταθέτει, ότι δηλαδή η γεωμετρία θα πάψει να είναι λειτουργική, επιτρέψτε μου να σας πω ότι, είναι πρόχειρη. Και χωρίς μετασχηματισμούς ακέραιων σχημάτων, είναι δυνατό να δημιουργηθεί (από εσάς, ενώ έχω και λόγου μου πρόταση) γεωμετρία σύνθετη που θα είναι τόσο λειτουργική και ακριβής, όσο συνάμα και επιστημονική. Όμως αυτό δεν είναι το θέμα μας τουλάχιστον προς το παρόν. Ας επικεντρωθούμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Σήμερα, όπως και σε όλη τη διάρκεια της ιστορίας της γεωμετρίας, το Πυθαγόρειο θεώρημα, αποτελεί όχι μόνο περιεχόμενο της γεωμετρίας, αλλά θεωρείται και περιγράφεται σαν βάση ή θεμέλιος λίθος της. Θέλω ωστόσο να σας θυμίσω κυρίες και κύριοι καθηγητές, ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι αυτόνομα, είτε ισχυρό, είτε ανίσχυρο, καθώς έχει διατυπωθεί πριν από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, χωρίς δηλαδή τη χρήση των ταξινομημένων όρων και των αξιωμάτων του μεγάλου μας αυτού γεωμέτρη, βάσει των οποίων αναπτύχθηκε μέχρι τις μέρες μας η γεωμετρία. Αυτό το λέω, επειδή μερικοί συνάδελφοί σας επικαλούνται, ψελλίζοντας στην κυριολεξία, λόγους περί πάχους ευθείας, και γεωμετρικού σημείου χωρίς διαστάσεις κ.λ.π. Αυτά όλα δεν λαμβάνουν χώρα κατά την διατύπωση του Πυθαγορείου θεωρήματος από τον Πυθαγόρα, την επεξεργασία του οποίου έχουμε κάνει έκτοτε και με τους όρους του Ευκλείδη ή του Hilbert για να διαπιστώσουμε την ορθότητά του.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι λάθος και δεν λυπάμαι καθόλου για αυτή την εξέλιξη. Λυπάμαι μόνο αναδρομικά, για τον πνιγμό του Ίππασου του Μεταποντινού, που εκτός από άδικος σε κάθε περίπτωση, ήταν και για λάθος αιτία.

Τι θα γίνει με αυτόν τον κύκλο επιτέλους;

"Θα τον τετραγωνίσετε;"

< snob mathematician mode on >

Αυτή είναι μια κλασσική ερώτηση που ακούμε πολλές φορές από γνωστούς, γνωστές, υποψήφιους φίλους και δυστυχώς υποψήφιες μέλλουσες πρώην μας οι οποίες θέλουν να το παίξουν ψαγμένες. Δυστυχώς η ερώτηση υπάγεται στη σφαίρα της χαζομάρας και είναι απλά μια ένδειξη ότι κανένας από αυτούς που την κάνει δεν ήταν παρών στο μάθημα των μαθηματικών στο σχολείο. Ποτέ.

Είναι σα να ρωτά κανείς "μα πότε ψηφίστηκε ο νόμος της βαρύτητας", "Τι θα γίνει, γιατί δεν καταφέραμε να έχουμε ακόμα ρεύμα από ροή νετρονίων και όχι ηλεκτρονίων", και -αγαπημένη χαζομάρα- "δηλαδή σπουδάζοντας μαθηματικά τι ακριβώς σπούδασες" (ναι έχει ακουστεί και αυτό). Μάλιστα μερικές από αυτές τις επικά ηλίθιες ερωτήσεις (και είναι πολλές...) τις έχουν κάνει φοιτητές ιατρικής ή νομικής, που μάλλον είχαν παραπάρει σοβαρά τον εαυτό τους και είχαν κάποιο κόλλημα ανωτερότητας..
Μεγάλη παρένθεση τώρα που θυμήθηκα κάτι :

Σκηνικό : Είμαι τέταρτο έτος, και κάνω παρέα με μια φιλολογίνα, πολύ φίνο κοριτσάκι. Μια μέρα είμαστε μαζεμένοι σπίτι της κάτι μαθηματικοί, αυτή και κάτι ψυχολόγες. Κάποια φάση σκάει μια νομικάρια, πρωτοετό. Δεύτερο εξάμηνο. Μέσα στην κουβέντα, τρώει ένα μεγάλο σκάλωμα και θέλει σώνει και καλά να αποδείξει την ανωτερότητά της ως επιστήμονα, με το να προσπαθεί να αποδείξει ότι η νομική είναι πρωταρχική επιστήμη και τα μαθηματικά παρεπόμενη. Εμάς ποσώς μας ενδιαφέρει ποια επιστήμη δημιουργήθηκε πρώτη προφανώς, ούτε έχουμε κανα κόλλημα ότι είμαστε η αριστοκρατία των επιστημών. Αλλά η άλλη έχει τσιτώσει. Μιλαει για γλωσσολογία, για επικοινωνία, για έγκλημα κλπ κλπ.. Μας τα χει κάνει ελλειπτικά παραβολοειδή σε κάποια φάση. Οπότε ως τελειωτικό επιχείρημα, και καλά για να το καταλάβουμε επειδή δεν καταννοούμε τη νομική ορολογία -μας έκανε και χάρη-, θέτει το εξής :
"Ο άνθρωπος πρώτα έκανε μήνυση και πήγε στη δικαιοσύνη για τα πρόβατα που του κλεψαν και μετά άρχισε να ασχολείται με αστρονομίες, τρίγωνα και τετράγωνα"

Οπότε και έλαβε την εντελώς προφανή απάντηση :
"Ναι ρε ντουβάρι, αλλά πρώτα έμαθε να μετράει τα πρόβατα και μετά κατάλαβε ότι του κλέψαν 2"...

Κλείνει η μεγάλη παρένθεση.
Πάμε στον κύκλο πάλι.


Λοιπόν αγαπητοί φίλοι και φίλες, μαθητές και μαθήτριες, το πρόβλημα με τον κύκλο δεν είναι ότι δεν έχουμε βρεί τρόπο να τον τετραγωνίσουμε. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καν πρόβλημα. Και όταν λέμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, εννοούμε δεδομένου ενός κύκλου με ακτίνα r, να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με ίδιο εμβαδό.

Πολύ απλά, αυτό ΔΕ ΓΙΝΕΤΑΙ. Δεν είναι ότι ψάχνουμε τη μέθοδο, δεν αναζητούμε αλγόριθμο, δε προσπαθούμε με χάρακα και διαβήτη και μοιρογνωμόνια και σκαρπέλα και σφυριά. ΔΕ ΓΙΝΕΤΑΙ. Τέλος.

Το γιατί η αλήθεια είναι ότι συνήθως δεν το αποδέχονται ορισμένοι πεισματάρηδες χαρακτήρες που σώνει και καλά θέλουν να αποδείξουν μέσω πίστης ότι οι μαθηματικοί κάνουν κάποιο λάθος ή αρνούνται να παραδεχτούν την ασχετοσύνη τους. Το θεμελιώδες βάραθρο στην επικοινωνία που λέει ότι πιστεύοντας πως γίνεται κάτι είναι τελείως διαφορετικό από το να το αποδείξεις, είναι και ο λόγος που τέτοιες κουβέντες συνήθως καταλήγουν σε μια ηλίθια αττάκα του στύλ "καλά εσείς οι μαθηματικοί είστε πολύ σνομπαρίες" ή "μη με πρήζεις, μια ερώτηση έκανα" (δεν έκανες μία, 300 έκανες και επέμενες ότι είμαστε μαλάκες, άχρηστοι και δεν καταφέραμε τίποτα σπουδαιο 2 χιλιάδες χρόνια)

Το οτι δε γίνεται το είπα. Το γιατί δεν το είπα ακόμα.
Το γιατί στην όλη φάση είναι κάτι εξαιρετικά απλό, για αυτό και δεν το δέχονται όλοι εκείνοι οι υποψήφιοι κατεδαφιστές των μαθηματικών.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι ανέφικτος επειδή το π είναι υπερβατικός αριθμός.

Τέλος

Τι σημαίνει αυτό; .. χμμ.. για να θυμηθούμε..
Αυτό το ρημάδι το π παίζει σε ό,τι έχει να κάνει με κύκλο, σωστά; το θυμάστε έτσι;

Ωραία. Το π είναι άρρρητος και υπερβατικός. Επίσημα, υπερβατικός είναι ένας αριθμός που δε μπορεί να αποτελέσει λύση πολυωνυμικής εξίσωσης με πραγματικούς, μη μηδενικούς συντελεστές. Το π είναι ένας αριθμός φάντασμα. Δεν αποτελεί λύση σε κανένα πολυώνυμο, δεν είναι ρίζα κάποιου άλλου σοβαρού αριθμού κλπ κλπ κλπ. Είναι μη κατασκευάσιμος αριθμός. Για αυτό και τσάντιζε τον Πυθαγόρα.

Με απλά απλά λόγια, το π είναι ένας αριθμός που τελειωμό δεν έχει και όχι μονο τελειωμό δεν έχει, αλλά δεν υπάρχει και κάποιος αλγόριθμος στο πως προκύπτουν τα ψηφία του. Είναι φάντασμα είπαμε. Υπερβατικός. Ισως είναι πιο εύκολο να τον πω άρρητο, για να προσανατολιστούν καλύτερα και κάποιοι που δεν έχουν επαφή με το αντικείμενο. Θυμάστε τι είναι ο άρρητος αριθμος; Ή μάλλον θυμάστε τι είναι ο ρητός; Ένας αριθμός που μπορεί να γραφεί ως κλάσμα δυο ακεραίων. 1=1/1 . 4 = 8/2 και πάει λέγοντας. Ε το π ΔΕΝ μπορεί να γραφεί ως κλάσμα. Δηλαδή δεν υπάρχουν x και y, ακέραιοι, ώστε π=x/y . Και αυτό είναι ουσιαστικά όλο το ζουμί. Για να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, πρέπει σε κάποια φάση το π να γραφτεί ως ρητός. Ε, νο. Τέλος.

Είναι πως να το πω,σα να απαιτεί κάποιος με 20 ευρώ βενζίνη να κάνει 17 φορές το γύρο του σύμπαντος σε 3.5 δευτερόλεπτα χωρίς να διαταράξει το χωροχρονικό συνεχές. Ε , νισάφι πια.

Υ.Γ1 : Είχαν πλάκα οι διάφοροι συνταξιούχοι στρατιωτικοί, γιατροί, φυσικοί, δάσκαλοι κλπ κλπ που σκάγαν που και που μύτη στη σχολή με αποδείξεις.. Ένας μάλιστα είχε ισχυρισθεί ότι είχε καταρρίψει και όλη την ZFC στην πορεία για την απόδειξη(Τώρα που την χώρεσε την ZFC εκεί πέρα...).. Πως δεν του καταρρίψαμε κανα γιαούρτι ξεπέτσωτο...:P

Υ.Γ2 : Για την ακρίβεια, δε γίνεται να τετραγωνίσουμε ΑΚΡΙΒΩΣ τον κύκλο. Προσεγγίσεις παίζουν, αλλά εμείς είμαστε μαθηματικοί όχι μηχανικοί.

Μαθηματικές αττάκες

Χρόνια και ζαμάνια έχω να γράψω εδώ μέσα. Και οι δυό συνάδελφοι δε βοηθάνε κιόλας. Γράφτε κάτι ωρέεε!!

Επειδή σήμερα έχω όρεξη για κάτι ελαφρύ σαν άσκηση παραγοντοποίησης της Γ' γυμνασίου, ιδού μερικές ωραίες αττάκες περί μαθηματικών :


1. Μαθηματικά και Θεός



Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα με την οποία ο Θεός έγραψε το σύμπαν (?!?!?!)


Όταν ρωτήθηκε αν πιστεύει σε έναν Θεό, ένας μαθηματικός απάντησε : "Αμέ, μέχρι ισομορφισμού"


Ο καλός Χριστιανός πρέπει να προσέχει τους μαθηματικούς και τους άλλους που λένε κενές προφητείες. Είναι υπαρκτός ο κίνδυνος οι μαθηματικοί να έχουν κάνει συμφωνία με το διάβολο για να σκοτίσουν το πνεύμα και να περιορίσουν τον άνθρωπο στα δεσμά της κολάσεως. (Αγιος Αυγουστίνος) (καλό ε;)


Οι φυσικοί λογοδοτούν στους μαθηματικούς, οι μαθηματικοί μόνο στο Θεό :P


2. Ερμηνεία λέξεων που θα ακούσετε σε ένα αμφιθέατρο μαθηματικού τμήματος :<br>

ΠΡΟΦΑΝΩΣ = Έχει 7 πίνακες απόδειξη και βαριέμαι να τη γράψω

ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ = Άμα δεν ξέρεις να το βγάζεις αυτό, είσαι σε λάθος τμήμα

ΧΩΡΙΣ ΒΛΑΒΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΗΤΑΣ = Τώρα σιγά μην κάθομαι να σου εξηγώ τα πάντα, βρές τα υπόλοιπα και τις συνέπειες μόνος σου

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ= ...αλλά θα μας πάρει περίπου δυό βδομάδες και -παλι- βαριέμαι

ΑΥΤΟ ΕΛΕΓΞΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ = Ρε πόσο μα πόσο βαριέμαι. Άσε που δεν είμαι σίγουρος για το τι θα βγεί..

ΚΟΜΨΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ = Αυτός που τη σκέφτηκε έκανε ένα λογικό άλμα ίσα από δω μέχρι την Αυστραλία, είχε τρελλή φαντασία και κατάφερε να αποδείξει αυτό το απίστευτο πράμα σε λιγότερο από 10 γραμμές

Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΛΕΙΠΕΤΑΙ = Εκτός του ότι δεν είμαι σίγουρος πως τη θυμάμαι απ έξω, βαριέμαι κιόλας.

Και κλείνω αυτό το κομμάτι με μια ωραία φάση στο αμφιθέατρο της ΦΜΣ, γύρω στο 1996, όπου κάνουμε Διαφορικό Λογισμό, νομίζω 2. (Πολλών μεταβλητών). Είμαστε στη Δ31, που είναι ένα αμφιθέατρο με 2 διπλούς πινακες. Γράφουμε μια άσκηση που έχει πάρει σχεδόν όλη την ώρα, και έχουμε χάσει τη μπάλα. Μάθημα μας κάνει ο κ.Μιχάλης Μαριάς, ένας από τους καλύτερους καθηγητές που είχα ποτέ, σοβαρός επιστήμονας και φοβερός τύπος. Αφού έχει γράψει λοιπόν την άσκηση και έχει τελειώσει, (γεμάτοι και οι 4 πίνακες), κάνει λίγο πίσω, κοιτάει και γουρλώνει το μάτι. Και εκεί βγήκε το περίφημο "Θεώρημα του Μαριά" : Γυρνάει, μας κοιτάει φυσιοκότατα, και λέει "Έκανα ένα μικρό λάθος : Όπου x, βάλτε y, όπου z, v και όπου ω x και βγαίνει μια χαρά".!!!


3. "Θεωρήματα"


α. Όλοι οι θετικοί ακέραιοι είναι ενδιαφέροντες

Απόδειξη : Έστω ότι ισχύει το αντίθετο. Τότε υπάρχει ένας ελάχιστος μη ενδιαφέρων θετικός ακέραιος. Ουάοου, αυτό είναι ενδιαφέρον! Αντίφαση! => Ο.Ε.Δ

β.Το θεώρημα της γάτας : Οι γάτες έχουν 9 ουρές

Απόδειξη : Καμία γάτα δεν έχει 8 ουρές. Μια γάτα έχει μια περισσότερη ουρά από καμία γάτα. Ο.Ε.Δ

γ. Το θεώρημα του μισθού :Όσο λιγότερα ξέρεις, τόσα περισσότερα κερδίζεις

Απόδειξη : Έστω οτι η γνώση είναι δύναμη (1)και ο χρόνος χρήμα(2) .

Γνωρίζουμε ότι Δύναμη = Έργο/Χρόνο. άρα από 1, και 2 Γνώση=Έργο/Χρήμα.


Λύνοντας ώς προς το χρήμα βρίσκουμε ότι Χρήμα=Έργο/Γνώση. Έτσι είναι προφανές ότι Χρήμα->+οο όταν Γνώση->0


4. Γενικές αττάκες


Στην τοπολογική κόλαση οι μπύρες είναι μέσα σε φιάλες του Klein

Γιατί πέρασε ένα κοτόπουλο τη λωρίδα του Moebius; Για να πάει στην άλλη εχμ..εεε..

Μοιράστε 14 κύβους ζάχαρης σε 3 φλιτζάνια καφέ, ώστε όλα τα φλιτζάνια να έχουν περιττό αριθμό κύβων. "Εύκολο: 1, 1 και 12" "Μα το 12 δεν είναι περιττός" "Τι λες, 12 κύβοι ζάχαρη σε έναν καφέ, είναι περιττό".

Ένας στατιστικός μπορεί να έχει τα πόδια σε φούρνο και το κεφάλι σε ψυγείο και να ισχυρίζεται ότι κατά μέσο όρο αισθάνεται μια χαρά

Τι είναι μια πολική άρκούδα; Μια τετράγωνη αρκούδα μετά από μετασχηματισμό.

Οι χαμένοι δεν πεθαίνουν

Γνωρίζω πολύ καλά, πως έχω παραμελήσει πάρα πολύ το καημένο αυτό blog. Τώρα όμως που το χρέος μου στη μητέρα πατρίδα εξεπληρώθει, τώρα που άλλοι φυλάν τα σύνορα Ελλάδας-Ιταλίας και Γλυφάδας-Ελληνικού, θα επανέλθω δριμύτερος.
Το επόμενο post θα είναι λίγο περίεργο ίσως για άτομα εκτός του τομέα των θετικών επιστημών, αλλά καίγομαι να αναλύσω τον αλγοριθμάκο μου :)
Το θέμα θα είναι "Αναγνώριση παθολογιών και ανίχνευση νεφρικής πυέλου σε σπινθηρογραφήματα νεφρών με ψηφιακή επεξεργασία εικόνας". Κάντε μια επανάληψη στη Μαθηματική Μορφολογία σας και εναν ψιλάκο κοιταχτε σύνολα Minkowski(αν και ισα που τα αναφέρω. Αυτοί οι μηχανικοί δε τα πάνε καλά με τα μαθηματικά)

Και καλώ και τους άλλους δύο συναδέλφους να γράψουν τίποτα γιατί πολύ στο στοχασμό το χουν ρίξει!

Η κλασματική διάσταση και ο κακόμοιρος σμηνίας

"Ο ΣΜΗΝΙΤΗΣ ESTARIAN ΤΩΡΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΟΥ Κ.Ε.Φ ΓΙΑ ΧΡΕΩΣΗ ΟΠΛΙΣΜΟΥ"
- Άργησες πατόψαρο, τι έκανες πάλι, ψοφοντάρευες στο θάλαμο;
- Οχι ρε Α.Κ.Φ.Φ, είχα ένα προβληματάκι που έπρεπε να λύσω.
- Σε στενεύουν οι αρβύλες ρε Estarian; Σε πονάει το λαιμουδάκι σου μήπως; Μήπως θες να στείλουμε αμοιβό να κάνει το νουμεράκι σου;
- Είσαι καλά ρε; Η σκοπιά είναι το καλύτερο μέρος για να λύνω ασκήσεις. Ηρεμία, κρύο (δουλεύει καλύτερα ο εγκέφαλος), και επαφή με τη φύση. Τέλεια!
- (Κοίτα ρε σε κάτι άτομα που δίνουμε και όπλα)
- Και τι θα έχει το πρόγραμμα σήμερα ρε μούργο;
- Ααα σήμερα έχω κέφια για κλασματική γεωμετρία.
- Υπάρχει τέτοιο πράμα;;
- Αμή! Δώσε τώρα όπλο,σφαίρες, ασύρματο και χλαίνη, και έλα σε καμιά ώρα να σου εξηγήσω

Το τζιπάκι μεταφέρει τον ακοίμητο φρουρό της πατρίδας στη Σ39. Το νούμερο, 6:30-10:30. Κρύο-υγρασία. Πρόβατα μπαίνουν και βοσκάνε παραδίπλα. Αλλά άμα ο άνθρωπος είναι καμμένος, δε μασάει από τέτοια. Κούμπωμα γεμιστήρας στο όπλο, άπλωμα χλαίνης στο δάπεδο της σκοπιάς, τσεκ ασυρμάτου (φροντίδα ακούει φύλακα 39; ακούει.. οκ..) και τσουπ, σημειωματάριο και στυλό.. και ξεκινάμε..
Έχει περάσει μία ώρα και χαράζει πλέον. Ευτυχώς γιατί αρχίζει και τελειώνει η μπαταρία στη μίνι-λάμπα διαβάσματος (γαμάτη, απο Παπασωτηρίου. Κουμπώνει στο αυτί σα Hands-free και φέγγει τρελλά..). Ο ήχος τζίπ που πλησιάζει σπάει τη μονοτονία των βελασμάτων και των γρύλλων. Το θύμα έρχεται. Έλα σμηνία να σου ξηγήσω γω την ιστορία
Ο σμηνίας Γ.Μ έρχεται με δύο αχνιστούς καφέδες.
"Ηρθα ρε. Αν και κάτι μου λέει πως θα το μετανοιώσω"
"Σουτ και κάτσε εδώ να μάθεις 5 πράγματα ρε παλιογιωτά"
"Σεμνάαααααααααα... ψάρακα :P"
"Θυμάσαι καθόλου γεωμετρία από το σχολείο ρε;"
"Ε ναι τα κλασσικά. Τρίγωνα, τετράγωνα, εμβαδά, παράλληλες, Θαλήδες, μινίσκοι Ιπποκράτη κλπ κλπ"
"Χμ ωραία, κάτι θυμάσαι. Για τις διαστάσεις, θυμάσαι;"
"Ε ναι 1,2,3. Ζούμε σε τρισδιάστατο κόσμο, δύο διαστάσεις το επίπεδο , μία η ευθείες και καμία το σημείο"
"Για καραβανάς επιδεικνύεις ιδιαίτερο πλούτο γνώσεων"
"Και συ για φαντάρος επιδεικνύεις ιδιαίτερη όρεξη να φάς καμιά 10φ"
"Καλά καλά ρε...ξεκολλα.. Που λες εδώ με τις διαστάσεις, πως θα σου φαινόταν αν σου έλεγα ότι υπάρχουν σχήματα που έχουν διάσταση πχ.. 2 1/2;"
"Θα έλεγα ότι για να το λές εσύ κάτι θα ξέρεις έστω και αν μου φαίνεται παπάτζα"
"Άκου λοιπόν και μάθε..:
Στο κομπιούτερ που έχετε μέσα στη μοίρα, έχει ο προσωπάρχης για wallpaper ένα περίεργο σχήμα. Ένα σχήμα που μοιάζει κάπως έτσι :



Αυτό λοιπόν είναι ένα fractal, και συγκεκριμένα. Είναι ένα σχήμα που αρχικά θα έλεγες ότι είναι δισδιάστατο. Αλλά δεν είναι. Η κλασματική γεωμετρία (fractal geometry - Ο όρος fractal προέρχεται από το λατινικό fractus που σημαίνει κλάσμα) είναι ένα κομμάτι των μαθηματικών που ενυπάρχει με μια ιδιαίτερη μορφή τέχνης. Επισης είναι και ο καλύτερος τρόπος για να περιγράψεις μαθηματικώς μορφές που υπάρχουν στη φύση όπως το σχήμα μιας ακρογιαλιάς, βουνά, μέχρι και όργανα έμβιων οργανισμών.Γιατί καλός ο Ευκλείδης, αλλά συγγνώμη, στη φύση το βουνό δεν είναι ακριβώς τρίγωνο. Ούτε μια ακρογιαλιά ακριβώς καμπύλη.
Το πρόβλημα της περιγραφής ενός ακανόνιστου σχήματος φαντάζεσαι ποιοί το αντιμετώπισαν πρώτοι;
"Μάλλον οι χαρτογράφοι του στρατού;"
Σωστός ο παίχτης. Πως θα μετρήσεις το μήκος των ακτών, όταν η ακτή είναι μια γραμμή με πραγματικά άπειρες πτυχώσεις; Κάποια στιγμή κατάλαβαν ότι το μήκος των ακτών σε ένα χάρτη μεγάλης κλίμακας ήταν το μισο από το μήκος τους σε ένα χάρτη πιο μικρής κλίμακας. Και αυτό πάλι μικρότερο από ένα χάρτη ακόμα πιο μικρής κλίμακας. Γενικότερα όσο κατέβαιναν σε κλίμακα τόσο αυξανόταν το μήκος των ακτών. Και προφανώς ξύναν τις φαλάκρες τους με απορία και απογοήτευση. Έτσι ανακάλυψαν μία από τις κύριες ιδιότητες των fractals.

Ιδιότητες
Δύο από τις βασικότερες ιδιότητες των fractals είναι η αυτο-ομοιότητα (self-similarity) και η μη-ακέραια διάσταση. Για παράδειγμα κοίτα λίγο τις φτέρες εδώ δίπλα. Κοίτα τα φύλλα. Πάρε ένα και θα παρατηρήσεις ότι το κάθε μικρό φυλλαράκι, μέρος του όλου φύλλου έχει το ίδιο σχήμα με όλο το φύλλο. Αυτό είναι η αυτο-ομοιότητα. Το ίδιο ισχύει και για τα fractals.Μπορείς να τα μεγενθύνεις όσες φορές θες, αλλά αυτό που θα βλέπεις στην οθόνη σου θα είναι ίδιο με το μεγαλύτερο. Πήγαινε μετά στο γραφείο προσωπικού, πάρε το wallpaper και ξεκινα να μεγενθύνεις. Θα δεις αμέσως τι εννοώ. Και θα κάνεις και φιγούρα στη σμηνία εκεί μέσα που τη βλέπω έτοιμη...
Η κλασματική διάσταση είναι λίγο δυσκολότερο να εξηγηθεί. Στην κλασσική γεωμετρία όπως θυμάσαι έχουμε αντικείμενα με ακέραιες διαστάσεις : Σημεία με μηδενική, γραμμές και καμπύλες με διάσταση ένα, σχήματα στο επίπεδο με δύο, και σχήματα στο χώρο με τρείς.Παρ'ολα αυτά κάποια φυσικά φαινόμενα περιγράφονται καλύτερα με κλασματικές διαστάσεις. Με αριθμούς μεταξύ δύο ακεραίων. Για παράδειγμα αν μια ευθεία έχει διάσταση ένα, μια fractal καμπύλη θα έχει διάσταση μεταξύ ένα και δύο ανάλογα με το πόσο χώρο πιάνει όπως στριφογυρίζει μέσα στο επίπεδο. 'Οσο περισσότερο επίπεδο χώρο πιάνει ένα fractal, τόσο περισσότερο η διάστασή του προσεγγίζει το δύο. Ομοίως ένα fractal "λοφοειδές" θα έχει μια διάσταση μεταξύ 2 και 3. Έτσι ένα τοπίο fractal που δείχνει ένα μεγάλο λόφο και μικρές προεξοχές, θα είναι πιο κοντά σε διάσταση δύο, ενώ μια ακανόνιστη επιφάνεια από πολλά μικρά λοφάκια θα είναι πιο κοντά στο 3.Υπάρχουν διάφορα είδη fractals. Εδώ θα σου πω για fractals μιγαδικών και fractals που προέρχονται από πολλές επαναλήψεις συναρτήσεων.

Μιγαδικά fractals
Εχεις ακούσει για μιγαδικούς αριθμούς όταν ήσουν λύκειο;
"Ναι αμέ.. z=a+bi όπου i είναι η ρίζα του -1. a,b στο R.Μιγαδικό επίπεδο κλπ"
Ρε εσύ είσαι αστέρι!
Τεσπα προχωράμε.
Ένας μιγαδικός όπως θυμάσαι είναι μια τελίτσα στο μιγαδικό επίπεδο. Μια τελίτσα που καθορίζεται από τα a,b . a για τον άξονα των x, b για τον άξονα των y - που λέγεται και φανταστικός άξονας.
Σύνολο Mandelbrot
Το σύνολο Mandelbrot είναι σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Για να φτιάξουμε αυτό το fractal (που είναι και αυτό που έχει στο γραφείο προσωπικού ο ανθυπασπιστής) πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν αλγόριθμο που βασίζεται στον αναδρομικό τύπο

, (1)

χωρίζοντας τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου σε δύο κατηγορίες :
1. σημεία μέσα στο σύνολο Mandelbrot
2.σημεία εκτός αυτού
Έτσι λοιπόν να, ορίστε πως θα δείχνει ένα σύνολο Mandelbrot, με μαυρισμένα τα σημεία που του ανήκουν : Έτσι για το θεαθήναι, ας χρωματίσουμε και τα σημεία εκτός. Το χρώμα, εξαρτάται από το πόσες επαναλήψεις κάναμε για να αποφασίσουμε αν είναι εκτός.

Πως το δημιουργούμε ;
Για να δημιουργήσουμε ένα σύνολο Mandelbrot αρχικά επιλέγουμε ένα σημείο C στο μιγαδικό επίπεδο. Ο μιγαδικός αριθμός που αντιστοιχεί σε αυτό το σημείο έχει τη μορφή c=a+bi.
υπολογίζοντας την τιμή του στην εξίσωση 1,
χρησιμοποιώντας το 0 σαν τιμή του , παίρνουμε ως αποτέλεσμα το C.Στο επόμενο βήμα, βάζουμε το C σαν και υπολογίζουμε. Παίρνουμε για αποτέλεσμα τον μιγαδικό . Μετά απλά το βάζουμε ως και επαναλαμβάνουμε επ'άπειρο.
Αυτή η διαδικασία ονομάζεται και "μετανάστευση" του αρχικού σημείου C πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνουμε συνεχώς τη συνάρτηση. Θα παραμείνει το σημείο κοντά στην αρχική του θέση ή θα απομακρύνεται συνεχώς αυξάνοντας απεριόριστα την απόστασή του απο κει που ξεκίνησε; Στην πρώτη περίπτωση το C ΑΝΗΚΕΙ στο σύνολο (μαύρα σημεία) ενώ στη δεύτερη λέμε ότι πάει στο άπειρο και του αναθέτουμε ένα χρώμα ανάλογα με την ταχύτητα που "ξεφεύγει" από την αρχή.
Βέβαια μπορούμε να το δούμε και από άλλη οπτική γωνία : Φαντάσου ότι όλα τα σημεία στο επίπεδο έλκονται και απο το άπειρο και από το σύνολο Mandelbrot. Έτσι καταλαβαίνουμε πιο εύκολα γιατί
α. Σημεία μακριά από το σύνολο κινούνται ταχύτατα προς το άπειρο
β. Σημεία κοντά στο σύνολο κινούνται αργά προς το άπειρο γ. Σημεία εντός συνόλου δεν ξεφεύγουν ποτέ

Σύνολα Julia
Τα σύνολα Julia έχουν μεγάλη σχέση με τα σύνολα Mandelbrot. Η επαναληπτική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για αυτά είναι η ίδια με του συνόλου Mandelbrot. Η μόνη διαφορά έγκειται στο τρόπο που χρησιμοποιείται ο τύπος. Για το σύνολο Mandelbrot επαναλαμβάνουμε τον τύπο για κάθε σημείο C ,πάντα με . Για να φτιάξουμε σύνολο Julia κρατάμε το C σταθερο και αλλάζουμε το . Η τιμή του C καθορίζει και το σχήμα του συνόλου Julia. Με λίγα λόγια, κάθε σημείο στο μιγαδικό επίπεδο σχετίζεται και με ένα συγκεκριμένο σύνολο Julia.
Πως φτιάχνουμε ένα σύνολο Julia
Πρέπει πρώτα να επιλέξουμε ένα σημείο c στο μιγαδικό επίπεδο για να το συσχετίσουμε με το σύνολό μας. Για να δούμε αν ένα σημείο Ζ ανήκει στο σύνολο Julia, και να το χρωματίσουμε αντίστοιχα, πρέπει να θέσουμε στη συνάρτηση και να αρχίσουμε τις επαναλήψεις.Τώρα μικρέ και ανόητε σμηνία τί θα συμβεί στο αρχικό σημείο Ζ; Θα μείνει κοντά στην αρχή ή θα αρχίσει να φεύγει και να φεύγει και να φεύγει, όπως μερικοί φαντάροι από τη σκοπιά; Στην πρώτη περίπτωση, ανήκει στο σύνολο Julia. Στη δεύτερη περίπτωση, που πάει προς το άπειρο, του αναθέτουμε και ένα χρώμα ανάλογα με την ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από την "αρχή".
Έχουμε και άλλα είδη fractals όμως -ΟΧΙ ΑΣΕ ΤΟ ΟΠΛΟ ΚΑΤΩ ΕΙΝΑΙ ΓΕΜΑΤΟ

Iterated function system fractals αγαπητέ. Μη μουτρώνεις, κάτσε και θα δείς, αυτά είναι ωραία..Αυτά που λες δημιουργούνται μέσα από απλούς μετασχηματισμούς στο επίπεδο, όπως πχ η περιστροφή των αξόνων. Για να φτιάξουμε ένα τέτοιο fractal κοίτα τι κάνουμε :
1. Ορίζουμε ένα σύνολο από μετασχηματισμούς στο επίπεδο
2. Φτιάχνουμε ένα αρχικό σχήμα στο επίπεδο. Ο,τι ναναι
3. Μετασχηματίζουμε το σχήμα χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς που ορίσαμε
4. Μετασχηματίζουμε το σχήμα που βγήκε ξανά, με τους ίδιους μετασχηματισμούς.
5. Επαναλαμβάνουμε το 4 όσο θέμε. Μπορείς να το κάνεις έναν αιώνα άμα θες, εμένα δε με χαλάει. Και να δείς τι ωραία πράματα που βγαίνουν..
Τα πλέον γνωστά σχήματα που βγήκαν από τέτοιους μετασχηματισμούς είναι το τρίγωνο του Sierpinski και η νιφάδα του Koch. Και κοίτα να δεις πως :
Παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο
Παίρνουμε τα μέσα των πλευρών και τα συνδέουμε.
Το κάνουμε όσες φορές θέλουμε.
Να πως θα φαίνεται και μετά από 4 επαναλήψεις :

1)	2)
3)	4)

Και τώρα μάγκα, χρησιμοποιώντας αυτό το παράδειγμα θα σου αποδείξω ότι η διάστασή του ΔΕΝ είναι ακέραιος :Πρώτα, κάτσε να πούμε πως συμπεριφέρεται το "μέγεθος" ενός αντικειμένου όταν αυξάνεται η γραμμική του διάσταση. Σε διάσταση ένα, πάρε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Αν διπλασιάσουμε τη γραμμική του διάσταση, τοτε το μήκος του επίσης διπλασιάζεται. Σε δύο διαστάσεις, αν πχ οι γραμμικές διαστάσεις ενός τετραγώνου διπλασιαστούν τότε το χαρακτηριστικό του μέγεθος, το εμβαδό, αυξάνεται 4 φορές. Στις τρείς διαστάσεις, ανάλογα για έναν κύβο, ο όγκος του 8πλασιάζεται.
Αυτή η σχέση μεταξύ διάστασης D, γραμμικής αύξησης L και την αύξηση του μεγέθους S μπορούμε να τη γράψουμε λοιπόν ως
S= L^D (Το ^ συμβολίζει τη δύναμη)
Επιλύοντας τον τύπο αυτό ως προς D βλέπουμε πως η διάσταση αλλάζει όταν αλλάζει και το μέγεθος μέσω ενός γραμμικού μετασχηματισμού μεγέθους:

Στα παραπάνω παραδείγματα το D είναι ακέραιος -1,2,3- ανάλογα με τη διάσταση του κάθε σχήματος. Αυτό ισχυει και για όλα τα σχήματα στην Ευκλείδια γεωμετρία. Για τα fractals όμως ; Αμα δεις στο τρίγωνο του Sierpinski, θα παρατηρήσεις πως αν η γραμμική διάσταση του αρχικού τριγώνου διπλασιαστεί, τότε το εμβαδό όλου του fractal (τα μπλε τρίγωνα) θα αυξηθει κατά έναν παράγοντα 3. Ε αμα τα βάλεις 2 και 3 στην παραπάνω σχέση, θα δείς ότι η διάσταση του τριγώνου Sierpinski είναι

Η νιφάδα του Koch
Για να κατασκευάσουμε μια νιφάδα Koch, πρέπει να αρχίσουμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο με τις πλευρές του να έχουν μήκος, παραδείγματος χάριν, 1. Στη μέση κάθε πλευράς, θα προσθέσουμε ένα νέο τρίγωνο με μέγεθος ένα τρίτο του αρχικού.Επαναλαμβάνουμε αυτήν την διαδικασία για έναν άπειρο αριθμό επαναλήψεων. Το μήκος του"συνόρου", της περιμέτρου είναι 3.(4/3).(4/3).(4/3). ... - άπειρο. Εντούτοις, το εμβαδό παραμένει λιγότερο από αυτό ενός κύκλου περιγεγραμμένου στο τρίγωνο. Αυτός σημαίνει ότι μια άπειρη σε μήκος γραμμή περιβάλλει μια περιοχή πεπερασμένου εμβαδού. Μια νιφάδα Koch στην τελική της μορφή μοιάζει πολύ με μια ακτογραμμή.

Νιφάδα Koch μετά απο 4 επαναλήψεις

Να και μερικά ακόμα fractals : Σου μοιάζει με φύλλο απο φτέρη ε; ε ναι ρε σμηνία, τα φύλλα της φτέρης είναι κλασσικό παράδειγμα fractal σχήματος όπως ειπαμε και παραπάνω :)

Αυτό είναι πιο τεχνητό, αλλά παρατήρησε : Επανάληψη. Συνεχής επανάληψη του ίδιου μοτίβου. Σε κάθε σημείο αν κάνεις ένα ζουμάρισμα θα δείς τα ίδια. Το ίδιο σχήμα..Εφαρμογές
Απειρες πραγματικά. Απο αστροφυσική και βιολογικές επιστήμες μέχρι γραφιστική.

Ακομα και το πως και γιατί τα αστέρια είναι εκεί που είναι, μπορεί ίσως να εξηγηθεί μέσω της φρακταλικής συμπεριφοράς της κατανομής των διααστρικών αερίων. Οι κλασματικές κατανομές είναι ιεραρχικές στη δομή τους. Σκέψου ένα συννεφάκι καπνού ή ένα σύννεφο στον ουρανό. Ο στροβιλισμός του αέρα δίνει τα σχήματα τους, τα οποία ίσως να μπορούν να περιγραφούν με κλασματική γεωμετρία.

Στη βιολογία.. πανικός. Από την αυτο-ομοιότητα στις αλυσίδες του DNA μέχρι την οργάνωση των χρωμοσωμάτων και από τη συμπεριφορά πληθυσμών στο ρυθμό της καρδιάς κάθε ατόμου.
Έτσι που λες κύριε σμηνία.
Κύριε σμηνία;
Ρε!
ΚΑΛΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ!!!

Όνομα: "τρελή ξανθιά"

Τι αντιπροσωπεύει η «τρελή ξανθιά»; Πάντα με βασάνιζε το ερώτημα. Από τότε που άκουσα και τραγούδησα τα πρώτα μου ρεμπέτικα! Κάποια «αποφράδα» μέρα όμως άκουσα και forcing... Έκανα τους κατάλληλους συσχετισμούς και είπα να τους μοιραστώ μαζί σας. Θέλετε βέβαια «μασημένο» ορισμό, έτσι; Ε λοιπόν όχι! Μετά από οκτάμηνο συγγραφικής αποχής «των χαμένων» αλλά και την ανικανότητα του γράφοντα να απλοποιήσει το θέμα περισσότερο, θα χρειαστεί να διαβάσετε όλη την ιστορία... Και τις 5771 λέξεις! Μέχρι το τέλος!

Ξανθιά είναι αυτή! Αξίζει ότι κι’ αν πεις...

___...___

Το κουδούνισμα του τηλεφώνου την έβγαλε από το βαθύ λήθαργο. Είχε προχωρήσει το μεσημέρι, όταν σηκώθηκε μάλλον χαρούμενη και «χορτασμένη». Οι κουβέντες με τον παππού τα βράδια που έμενε «μέσα» την εξουθένωναν, αλλά και της έδιναν την αίσθηση ότι πήγε ένα βήμα «παραπέρα».

Σήκωσε το τηλέφωνο απρόθυμα. Δεν φαντάζονταν πόσο θα την εξόργιζε η κουβέντα που θ’ ακολουθούσε με τον Γρηγόρη. Τα αγόρια μπορούν να γίνουν πολύ ηλίθια μερικές φορές... Ήθελε να ουρλιάξει από θυμό, όταν ακούστηκε το κουδούνι της πόρτας. Ήλπιζε ότι κάποιος θ’ άνοιγε, αλλά γρήγορα συνειδητοποίησε πως ήταν μόνη στο σπίτι. Και αυτός στην πόρτα τόσο ανυπόμονος!

Σηκώθηκε στις μύτες των ποδιών της, να κοιτάξει από το «ματάκι». Η μορφή της φίλης της την ανακούφισε κάπως.

- Καλώς την Όλγα! Πέρνα μέσα.

- Γεια σου! Γιατί είσαι θυμωμένη;

Η Αθηνά την κοίταξε διερευνητικά σα να δίσταζε να ξεκινήσει, αλλά η οργή της ξεχείλιζε φανερά...

- Ο «δικός σου» ο Γιώργος είναι πολύ ηλίθιος!

ούρλιαξε σχεδόν, καθώς προχωρούσαν στο σαλόνι.

- Τι έκανε πάλι;

- Είπε σ' εκείνον το βλάκα το Γρηγόρη ότι μ’ αρέσει κι’ εκείνος άρχισε να το παίζει «όμορφος»...

- Γουρούνια παιδί μου! Καλά λέει η αδελφή μου!

- Και συ δεν μπορούσες να κρατηθείς. Να του τα πεις όλα...

- Μα, μου υποσχέ...

- Τι κάνουν οι όμορφες;

φώναξε δυνατά ο παππούς της Αθηνάς, διακόπτοντας απότομα την κουβέντα, καθώς άνοιγε την εξώπορτα να μπει μαζί με τη γιαγιά στο σπίτι.

- Μέχρι έξω ακούγεστε να «στολίζετε» με τα κατάλληλα «ονόματα» τα αγοράκια...

Τον κοίταξαν μ’ εκείνη την απορία που έχουν τα νιάτα,
«πως τα καταφέρνει και είναι τόσο κοτσονάτος ο Μαθουσάλας»
και είναι τόσο εκνευριστική στους μεγαλύτερους!

- Μμμμ... Ονόματα που τους χαρακτηρίζουν πλήρως... Ή μήπως διαφωνείς;

μίλησε πρώτη η Αθηνά.

- Νομίζω ότι πρέπει να είμαστε λίγο προσεκτικοί με τα ονόματα που χαρακτηρίζουν πλήρως...

αντιγύρισε ο παππούς περιπαικτικά και με το γνωστό βλέμμα «είμαι έτοιμος για διδασκαλία»...

- Τι εννοείτε;

πετάχτηκε η Όλγα, προσπαθώντας να αγνοήσει την Αθηνά, που της έκανε νοήματα απελπισίας να μην ξεκινήσει τις ερωτήσεις. Το γιατί δεν θ’ αργούσε να τ’ ανακαλύψει...

- Να δούμε ένα παράδειγμα. «Έστω u ο πρώτος αριθμός, που δεν μπορεί να περιγραφεί με λέξεις». Τι παρατηρείτε;

- Μα αυτοαναιρείται!... Σαν το όνομα «Κανένας» που χρησιμοποίησε ο Οδυσσέας!

- «Ονοματίζεται» όμως. Να και ένα άλλο σχετικό! «Έστω w ο μικρότερος αριθμός, που είναι μεγαλύτερος από κάθε αριθμό που μπορώ να κατονομάσω». Πάλι έχουμε τα ίδια. Αν μάλιστα συνδυάσουμε αυτά τα δύο, λόγω του πεπερασμένου της ζωής μας έχουμε w≤u. Απ’ την άλλη όμως, εξ’ ορισμού έχουμε u ≤w!

- Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι ο w = u αν είμαστε θνητοί!

- Περίεργο, έτσι;

- Ακραίες περιπτώσεις που είμαι σίγουρη, ότι μπορούν να ξεπερασθούν οι αντιφάσεις τους, αν σκεφτούμε τους περιορισμούς που μας επιβάλλει η γλώσσα και τις αναδιατυπώσουμε καλύτερα. Εφ’ όσον μπορούν ν' αναδιατυπωθούν...

τόνισε η Όλγα

- Θέλετε κι’ άλλο; Έστω z ο ελάχιστος φυσικός, που δεν μπορεί να περιγραφεί με λιγότερες από τριανταεπτά συλλαβές.

- Μα νομίζω - άρχισε να μετράει δειλά με τα δάκτυλα - χρησιμοποιήσατε 36 συλλαβές!

- Ακριβώς! Πρέπει λοιπόν να είμαστε εξαιρετικά προσεκτικοί με τα «ονόματα». Ειδικά αυτά που θεωρούμε, ότι περιγράφουν πλήρως και μόνα τους το αντικείμενο. Όπως παρατήρησες και συ, η γλώσσα παίζει παιγνίδια με τη Λογική. Ο οιοσδήποτε καθορισμός και οι περιγραφές εύκολα μπορούν να «γλιστρήσουν» στο παράλογο.

Εκείνη τη στιγμή η γιαγιά που είχε μπει αθόρυβα - όπως συνήθιζε - στο σπίτι πίσω από τον παππού, φώναξε από την κουζίνα, σχεδόν σίγουρη ότι δεν θα 'πρεπε να περιμένει απάντηση από τις απορροφημένες στην κουβέντα μικρές.

- Όλγα μου θα κάτσεις να φάμε. Ετοιμάζω!

- Πώς θα περιγράφατε εσείς ένα όνομα;

συνέχισε η Όλγα αφού ευχαρίστησε γρήγορα (μετά την αγκωνιά... της Αθηνάς) για την πρόσκληση.

- Λοιπόν, για να δούμε... Ένα πλήρες όνομα είναι ένας αυτάρκης ορισμός.

- Δηλαδή;

- Ε να, χρησιμοποιεί ή περιλαμβάνει με κάποιο τρόπο τους ορισμούς όλων των συμβόλων και λέξεων που χρησιμοποιεί. Αλλιώς στην καλύτερη περίπτωση, το υπό συζήτηση αντικείμενο είναι απλά «ονοματίσιμο». Τείνουμε προς την πλήρη περιγραφή του, αλλά δεν την εξαντλούμε! Μάλιστα η ίδια η έννοια της ονοματισιμότητας δεν είναι ονοματίσιμη! Μόνο όποιος ταυτιστεί με το απόλυτο, είναι σε θέση να κατονομάσει για παράδειγμα όλους τους αριθμούς ταυτόχρονα.

- Το απόλυτο;

- Ότι κι’ αν είναι αυτό!(*) Είναι ακόμα λογικά αναμενόμενο, ένα όνομα να έχει έκφραση μικρότερη από το αντικείμενο που κατονομάζει.

- Παρ’ ότι αυτή είναι λογική απαίτηση - του αντιγύρισε ειρωνικά η Αθηνά - με τα παραδείγματά σου μας έδειξες ότι οδηγούμεθα σε αντιφάσεις...

- Λοιπόν μικρή μου, οι παραπάνω παραδοξότητες μας δημιουργούν την υποψία ότι δεν είναι αυτάρκη ονόματα. Είναι μάλλον ατελή γλωσσικά «προγράμματα», που προσπαθούν κάποια στιγμή να αποκτήσουν αυτοσυνείδηση και «τρέχουν» ατέρμονα. Ή αν προτιμάς, που στην πλήρη τους έκταση έχουν άπειρο μήκος. Όπως για παράδειγμα είναι η περιγραφή μιας γήινης καθημερινής γλώσσας. Ένα παιγνίδι που όλοι παίζουν και δεν μπορεί να περιγράψει κανείς πλήρως τους κανόνες... Γιατί είναι αδύνατη η εξαντλητική περιγραφή της μετατροπής των λέξεων σε σκέψεις.

- Δηλαδή, απ’ ότι φαίνεται δεν έχουμε κάποιο τυπικό ορισμό για την έννοια του ονόματος στα Μαθηματικά!

- Να σου πω την αλήθεια, δεν ξέρω! Όμως η λέξη «όνομα», ο χαρακτηρισμός αυτός, παρουσιάζεται σίγουρα στο forcing. Την «τεχνητή ανάπτυξη» και επέκταση του επιστητού μας. Μια μέθοδο που δημιούργησε - για την ακρίβεια συστηματοποίησε - ο Cohen για την κατασκευή, μελέτη και επέκταση μαθηματικών μοντέλων.

- Δηλαδή;

ρώτησε με την γνωστή ανυπομονησία της η Αθηνά. Και συμπλήρωσε με εκείνη την εφηβική προκλητικότητα που αγγίζει τα όρια της αγένειας, την οποία ο παππούς ήξερε να παραβλέπει με άνεση...

- Βέβαια δεν πιστεύω να σου περνάει απ’ το μυαλό να μας τα πεις με μαθηματική αυστηρότητα. Άλλωστε σου αρέσει να αμπελοφιλοσοφείς ανέξοδα...

«Ανέξοδα»... Εκείνος ήξερε πόσο είχε «ταλαιπωρηθεί» νοητικά στη ζωή του από την αδιάκοπη πάλη ανάμεσα στο διαισθητικό και το εμπειρικό, στο θετικιστικό και το ιδεαλιστικό. Σαν το Καντιανό περιστέρι που νιώθοντας την αντίσταση του αέρα στην ελεύθερη πτήση του, φαντάζεται ότι θα πετούσε ευκολότερα στο κενό και σπάει τα μούτρα του.

- Θα ήταν μάλλον δύσκολο και για τη στιγμή αλλά και τη διάθεσή μας, να σας κάνω μια τυπική παρουσίαση. Επιπλέον δεν είμαι σίγουρος αν η προχειροκουβέντα σ’ αυτά τα θέματα είναι διαφωτιστική και εποικοδομητική. Μάλλον είναι επικίνδυνη.

- Δεν πειράζει!

πετάχτηκαν κι’ οι δυο με μια φωνή!

Το χαμόγελο δεν μπορούσε να κρυφτεί στα χείλη του. Πάντα τον γοήτευε το πέταγμα της εφηβικής ψυχής από την βαρεμάρα στον ενθουσιασμό με ταχύτητα αστραπής! Νοιώθοντας ότι έχει κορυφώσει το ενδιαφέρον τους, άρχισε να μιλάει αργά.

- Έχουμε ξαναμιλήσει για την αδυναμία να αποδειχθούν κατά περατοκρατικό τρόπο όλες οι προτάσεις ενός συστήματος μέσα σ’ αυτό. Δηλαδή να αποδειχθούν με πεπερασμένα και αναντίρρητα απ’ όλους βήματα. Ξέρουμε οι άνθρωποι σήμερα, ότι πάντα θα υπάρχουν προτάσεις, για τις οποίες είμαστε αναγκασμένοι ν' αποφασίσουμε τρόπον τινά εμείς οι ίδιοι πέρα από προκαθορισμένες λογικές διεργασίες, κατά πόσον δεχόμαστε σαν ισχυρές αυτές τις ίδιες ή τις αντίθετές τους! Προτάσεις που και η θέση αλλά και η άρνησή τους είναι συμβατές με την μέχρι στιγμής θεώρηση των πραγμάτων. Αποδεικνύοντας ο Goedel αυτό τον ισχυρισμό με το θεώρημα πληρότητάς του και με την υπόθεση του «συνεχούς» στην οποία το εφήρμοσε, επιβεβαίωσε τα παραπάνω και έδωσε το έναυσμα να ξανασκεφτούμε τα Μαθηματικά μας αλλά και γενικότερα τη Λογική και τη Φιλοσοφία απ’ την αρχή. Τη μέθοδο του forcing την χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε μοντέλα, που κάποιες κατάλληλες επεκτάσεις τους θα μπορούσαν να είναι συμβατές είτε με την θέση είτε με την άρνηση κάποιων προτάσεων, που όπως είπαμε πιο πριν αποδεδειγμένα δεν μπορούσαν να αντιμετωπισθούν μέσα στο αρχικό μοντέλο.

- Την υπόθεση του «συνεχούς»; Δηλαδή;

- Ο Cantor είχε θέσει το εξής ερώτημα. Είναι ο αμέσως επόμενος άπειρος πληθικός αριθμός (*) - απ’ αυτόν του απείρου των Φυσικών αριθμών - ο πληθάριθμος των σημείων της πραγματικής ευθείας; Ή μήπως υπάρχει και ενδιάμεσος; Αυτό αναφέρεται σαν πρόβλημα του «συνεχούς».

- Πράγματι! είπε η Αθηνά. Με είχε σοκάρει - όταν το συζητούσαμε - το ότι δεν μπορούμε να πούμε για κάθε πράγμα ένα ναι ή ένα όχι. Για την ακρίβεια κάποιες φορές να είναι και τα δύο «σωστά» σύμφωνα με το μέχρι στιγμής υπόβαθρό μας! Και πιο πολύ με ξένισε όταν συνειδητοποιήσαμε στη συζήτηση, ότι αυτή είναι και η πεμπτουσία της αρχαιοελληνικής τραγωδίας!

- Δηλαδή;

ρώτησε έκπληκτη από τον συνειρμό η Όλγα.

- Ε να! συνέχισε με «φόρα» η Αθηνά. Στην τραγωδία υπάρχει πάντα κάποιο δίλημμα. Το τραγικό δίλημμα. Όποια απόφαση και να πάρει ο πρωταγωνιστής παραβιάζει κάποιον υφιστάμενο νόμο. Ανθρώπινο ή θεϊκό. Μερικές φορές ακόμα και με την αδράνειά του, την απραξία του, διαπράττει το ίδιο λάθος. Είναι απαραίτητο να εμφανισθεί «απ’ έξω» από το σύστημα ο από μηχανής θεός, για να δώσει λύση στο δράμα!

- Αυτό το «απ’ έξω» κρύβει κάποια ουσία. Καθώς και το ότι μόνο να του δώσουμε ένα όνομα μπορούμε (πχ. οι Διόσκουροι). Δεν το ελέγχουμε εμείς «οι από κάτω»!

συμπλήρωσε ο παππούς.

- Μέσα, έξω, πάνω, κάτω... Πολύ χωροταξικά και ακαταλαβίστικα όλα αυτά!

ψέλλισε απογοητευμένη η Όλγα...

- Δεν έχεις άδικο! Με λίγη όμως υπομονή ίσως αποκτήσουν όλα κάποιο νόημα. Και εξηγούμαι. Για να απεικονίσει - ώστε να μπορεί να αντιληφθεί και να μελετήσει – ο καθένας από μας τον κόσμο, τον Μαθηματικό κόσμο δηλαδή, αλλά με αρκετή «ελαστικότητα» και όποιον άλλο ωραίες μου δεσποινίδες, «σκέφτεται» μέσα σε κάποιο αρχικό μοντέλο Μ που είναι υποσύνολο του «σύμπαντος» V των ιδεών (*) και όχι μόνο. Το μοντέλο μας φυσικά θέλουμε να επαληθεύει αλλά και να στηρίζεται στα αξιώματα της συνολοθεωρίας. Είτε επειδή αυτά αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο πάνω στον οποίο κτίζονται τα Μαθηματικά, την γλώσσα που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε, να κατατάξουμε και να ερμηνεύσουμε ένα σημαντικό κομμάτι του κόσμου που ζούμε, είτε επειδή μπορούμε να τα δούμε σαν μια ελάχιστη συλλογή διανοητικών αρχών, που κρύβει μέσα της (αναπόδεικτα φυσικά) τους κανόνες της «μετασκέψης» μας. Τις βασικές δηλαδή παραδοχές του μυαλού μας. Του «Λόγου». Που αναδεικνύουν την όποια αναλυτική και συνθετική ικανότητα διαθέτουμε, για να αντιληφθούμε τον κόσμο μας. Να μοιράσουμε, να διατάξουμε, να συγκρίνουμε... Προφανώς τα Μαθηματικά δεν αρκούν για να περιγράψεις τον κόσμο. Για την ακρίβεια είναι αδύνατον - όπως υπονοεί όλη η προηγούμενη κουβέντα μας - να περιγραφεί πλήρως. Δεν μπορείς όμως σίγουρα να τ’ απορρίψεις από το μοντέλο σου. Άλλωστε...

- Πριν προχωρήσετε κι’ άλλο – τον διέκοψε η Όλγα - μήπως μπορείτε να μας θυμίσετε ποια είναι αυτά;

- Να σας τα παρουσιάσω μέσες-άκρες. Θα ‘θελα όμως πριν να αντιληφθούμε - γιατί είναι σημαντικό - ότι κάθε αξιοπρεπές σύστημα αξιωμάτων δημιουργείται σε μια προσπάθεια να ικανοποιηθούν κάποια κριτήρια ελεγξιμότητας του πεπερασμένου μας νου. Κριτήρια τα οποία γνωρίζουμε ότι δεν μπορούν παρά να είναι ατελή. Δεν είναι οι δέκα εντολές! Απαιτούν πίστη, αλλά δεν είναι θεϊκά θέσφατα. Το γεγονός όμως ότι τα δεχόμαστε ως αληθινά, δείχνει πως έχουμε ένα είδος κοινής αντίληψης πέρα από την αντίστοιχη αισθητηριακή. Έτσι θα αναρωτιόμαστε πάντα, μήπως αυτό σημαίνει ότι κουβαλάνε μια ενθάρρυνση, ένα θεϊκό αποτύπωμα ή ρίζωμα!

Τα αξιώματα αυτά «παράγουν» το αντικείμενο της μελέτης μας. Δεν είναι όμως ξένα με αυτό. Είναι εν πολλοίς «αυτό». Αξιώματα και αντικείμενο έχουν μιας μορφής αμφίδρομη σχέση. Αν «είχαμε» με κάποιο τρόπο από πριν το αντικείμενο, δεν θα μπορούσαμε να το ξαναφτιάξουμε με λιγότερα ή ουσιαστικά διαφορετικά αξιώματα. Αίτιο και αιτιατό μπλέκονται σε μια βαθιά ερωτική σχέση.

Βέβαια θα ήταν αυστηρότερο και πιο σίγουρο, να γράψουμε τα αξιώματά μας στη γλώσσα της συμβολικής λογικής. Θα ήταν όμως και άχαρο. Γι’ αυτό περιγράφοντάς τα θα προσπαθήσω να δείξω τι πετυχαίνει κάποιος μ’ αυτά.

- Επιτέλους!

Αγνοώντας την επιθετικότητα της Αθηνάς, για την οποία ευθύνονταν άλλος στο κάτω-κάτω, ο παππούς συνέχισε προσπαθώντας να αποδιώξει απ’ τη σκέψη του την «αιώνια» και ανεξήγητη αλήθεια της ευκολίας με την οποία η γυναίκα ξεχνά την χαρά που της προσφέρεται, σε αντίθεση με την οργή της...

- Το πρώτο αξίωμα πρέπει να μας εξασφαλίζει την ύπαρξη! Το «εν αρχή ην ο λόγος». Το «σκέφτομαι άρα υπάρχω». Μας λέει λοιπόν ότι υπάρχει κάποιο χ που αυτοσυνειδητοποιείται! Ένα χ τέτοιο ώστε χ=χ (existence). Απόδειξη δεν υπάρχει! Αν δεν την αποδεχθούμε, κάθε συζήτηση περιττεύει.

- Καμία αντίρρηση στο «πανάρχαιο» αυτό ζήτημα.

- Ωραία! Προσέξτε όμως μια μικρή αλλά ουσιώδη διαφορά με την Καρτεσιανή ρήση! Δεν αυτοσυνειδητοποιούμεθα εμείς! Το αντικείμενο της μελέτης μας αποφασίζει ότι υπάρχει! Ανεξάρτητα! Εμείς απλά παρατηρούμε...

- Δηλαδή το περιεχόμενο του μοντέλου μας υπάρχει, θέλουμε δεν θέλουμε; Το παρατηρούμε ή όχι;

- Μάλλον μας δίνει την ευκαιρία να είμαστε απλοί παρατηρητές... Δεν μας ζητά να του δώσουμε «ουσία» εμείς με ενεργητικό τρόπο και να το «φορτώσουμε» με ότι μπορεί να συνεπάγεται η επέμβασή μας. Δεν είναι εντελώς Πλατωνικό το θέμα...

- Για να δούμε πού το πάς!

- Κατόπιν – με την ίδια σειρά που αναπτύσσουν διανόηση και τα μωρά - πρέπει να καθορισθεί η απαρχή της σύγκρισης! Να ξεχωρίσουμε την ατομικότητά μας απ’ τη μαμά μας και το περιβάλλον. Να δοθεί υπόσταση στη δυάδα! Κι’ αυτή σηματοδοτείται με το ξεκαθάρισμα της έννοιας της ισότητας (extensionality). Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνον αν έχουν τα ίδια στοιχεία. Πάει και το δεύτερο.

- Έτσι όμως έχουμε εισάγει έμμεσα την έννοια του περιέχεσθαι! Μιλάμε για στοιχεία που περιέχουν τα συγκρινόμενα.

παρατήρησε η Όλγα.

- Και γι’ αυτό πρέπει να εξασφαλίσουμε την αποφυγή της κορυφαίας αντίφασης! Ότι το περιέχον δεν μπορεί να είναι και περιεχόμενο του εαυτού του! Το μεγάλο δηλαδή παράδοξο από την εποχή του Πρωταγόρα μέχρι και τον Russell...

σημείωσε η Αθηνά.

- Ακριβώς! συνέχισε ο παππούς.
Είναι το τρίτο αξίωμα αυτό. Έχουμε επιπρόσθετα την ανάγκη, να δηλώσουμε την ικανότητά μας, να φτιάχνουμε ζευγάρια (pairing) και ενώσεις (union). Γιατί κάθε σχέση που σκεφτόμαστε προϋποθέτει το ζευγάρωμα. Και οι γενικεύσεις, τις ενώσεις.

- Ωραία! Φτάσαμε τα πέντε δηλαδή μέχρι στιγμής.

μέτρησε η Όλγα.

- Σωστά! Είχαμε επιπλέον όμως πρόβλημα να δογματίσουμε πάνω στις τομές των συνόλων. Η αιτία είναι, ότι «παίζοντας» με το κενό σύνολο και με το τι αφήνουν απ’ έξω οι τομές, θα «ακουμπούσαμε» πάλι το παράδοξο του Russell. Με την ύπαρξη του συνόλου όλων των συνόλων! Που θα ‘πρεπε να περιέχει τον εαυτό του!

- Τι κάνουμε λοιπόν;

Φτιάχνουμε αυτό που μαθαίνει κανείς απ’ το Δημοτικό σχολειό σαν έννοια του συνόλου. Το αξίωμα του σχήματος της κατανόησης ή διαχωρισμού (comprehension or separation schema). Την αποκοπή δηλαδή οιουδήποτε συνόλου από κάποιο ευρύτερο, με την βοήθεια μιας χαρακτηριστικής ιδιότητας την οποία ικανοποιούν τα στοιχεία που το απαρτίζουν.

Παλιά πίστευαν ότι μόνο με την απλοϊκή αυτή αντίληψη για τα σύνολα θα βολευόμαστε. Ότι αρκεί δηλαδή μόνο μια ιδιότητα για να ξεχωρίσουμε κάποια στοιχεία που την έχουν, από τα άλλα. Οδηγηθήκαμε όμως έτσι στα γνωστά παράδοξα... Τελικά μ’ αυτό το αξίωμα «τακτοποιούμε» με ασφάλεια τις τομές.

- Πάντα δηλαδή χρειαζόμαστε ένα ήδη υπάρχον μεγάλο σύνολο για να αποκόψουμε κάποιο μικρότερο με την ιδιότητα που θέλουμε.

παρατήρησε η Όλγα.

- Έτσι είναι!

- Μα τότε χρειαζόμαστε κάποιο αρχικό!

- Αυτή είναι η παγίδα... Δεν χρειαζόμαστε κάτι τέτοιο. Έχουμε απλά την ανάγκη κάποιου σύμπαντος, που όμως δεν είναι σύνολο! Είναι κάτι άλλο πάνω στο οποίο εμείς δεν έχουμε πλήρη εποπτεία εν αντιθέσει με τα σύνολα!

- Και οι επεμβάσεις πάνω στα σύνολα; Οι συνολοσυναρτήσεις μας; Καλύπτονται από τα παραπάνω ή απλώς είμαστε θεατές του χώρου των συνόλων;

ρώτησε η Όλγα με την γνωστή της οξυδέρκεια, που ώρες – ώρες σ’ άφηνε άφωνο...

- Πράγματι! Είναι αναγκαίο να επιβεβαιώσουμε ότι οι εικόνες συνόλων μέσω συναρτήσεων, των επεμβάσεών μας δηλαδή στα πράγματα, αποτελούν και αυτές σύνολα! (replacement schema)

Έτσι καταφέρνουμε πια να αντιληφθούμε - με αρκετή προσπάθεια είναι αλήθεια - έννοιες σαν το υποσύνολο, τον επόμενο σε μια διάταξη, το κενό σύνολο κλπ.

- Και δεν μας αρκούν αυτά τα επτά αξιώματα;

- Δυστυχώς για να έχουμε όλα τα μαθηματικά μας, άρα και όσα θα μπορούσαμε κατ’ αναλογία να σκεφθούμε, χρειαζόμαστε την έννοια του απείρου! Για να το πετύχουμε, δεχόμαστε ότι υπάρχει κάποιο σύνολο χ που περικλείει το τίποτα – το κενό – καθώς και τον επόμενο κάθε στοιχείου του! Για να το διαχειρισθούμε με αξιοπρέπεια, χρειάζεται να δεχθούμε αξιωματικά, ότι για κάθε σύνολο χ υπάρχει και το σύνολο των υποσυνόλων του, το δυναμοσύνολο (power set) του Ρ(χ) δηλαδή.

- Κι’ έτσι προσεγγίζουμε και την έννοια της ευθείας, μιας και το δυναμοσύνολο των Φυσικών είναι πληθικά ισοδύναμο με την ευθεία των πραγματικών αριθμών.

συμπλήρωσε με μια δόση επίδειξης η Αθηνά.


- !!!

- Μας έχει μείνει όμως μια τελευταία ανάγκη μια και μιλήσαμε για ευθεία. Να μπορούμε να διατάσουμε καλά τα στοιχεία οποιουδήποτε συνόλου μας ενδιαφέρει. Να τα τοποθετούμε δηλαδή σε μια γραμμή γνωρίζοντας τον προηγούμενο και τον επόμενο κάθε στοιχείου του. Γι’ αυτό εισάγουμε το αξίωμα της καλής διάταξης ή αξίωμα της επιλογής. Γιατί η ικανότητα να μπορούμε να επιλέγουμε στοιχεία από διάφορα σύνολα - άπειρα στο πλήθος αλλά και στο μέγεθος - χωρίς να περιγράφουμε την μέθοδο που το κάνουμε, μας βοηθά τελικά στην επίτευξη καλής διάταξης. Γιατί διαλέγουμε το πρώτο στοιχείο, μετά το δεύτερο κλπ. Ένα αξίωμα που αρκετοί το αρνούνται, αλλά δυσκολεύονται έτσι να διαχειρισθούν άπειρες έννοιες και μεθόδους.

Καταφέρνουμε τελικά μ’ αυτά τα δέκα αξιώματα να περικλείσουμε τον τρόπο της σκέψης μας στο μοντέλο μας. Δεν είναι «έξω» από αυτό πλέον. Γιατί αν προσέξετε καλύτερα, η σκέψη μας γενικά περιγράφεται μέσα από αυτά! Όχι μόνο τα μαθηματικά μας! Και είναι σίγουρα σπουδαία επιτυχία...

- Πω-πω πολλά είναι...

φώναξε κουρασμένη η Όλγα

- Συμφωνώ! Και νομίζω ότι μπορούμε ν’ αρκεσθούμε στα μέχρι στιγμής.

Ας γυρίσουμε λοιπόν πίσω στο Μ.

- Αλήθεια ποια είναι τα στοιχεία του;

- Εξαρτάται κάθε φορά! Πλην όμως θέλουμε τα στοιχεία του να είναι υποσύνολά του. Να μην περιέχουν δηλαδή εξωτικά στοιχεία. Όλα να φτιάχνονται από «μέσα». Ένα τέτοιο μοντέλο ονομάζεται μεταβατικό.

Το θέλουμε επίσης να είναι και αριθμήσιμο! Να μπορούμε δηλαδή να μετρήσουμε (αν έχουμε άπειρη ζωή) τα στοιχεία του. Να τα θέσουμε σε μια ένα προς ένα αντιστοιχία με τα στοιχεία του συνόλου των Φυσικών {1, 2, 3, ...} Δεν θέλουμε το Μ να έχει μεγαλύτερης τάξης πληθάριθμο, γιατί η αριθμησιμότητα είναι η μόνη πραγματικά κατανοητή για μας έννοια! Το «συνεχές» c, η πραγματική ευθεία με άλλα λόγια, το αισθανόμαστε αλλά στην πραγματικότητα δεν το «καταλαβαίνουμε» πλήρως. Απόδειξη ότι χρειάστηκε τα «περιγραφικά» και διαισθητικά αξιώματα της Γεωμετρίας ο άνθρωπος για να την αντιμετωπίσει... Για τους δύσπιστους ως προς την ύπαρξη ενός τέτοιου μοντέλου M, θα βεβαιώσω ότι ένα σπουδαίο θεώρημα των Lowenenheim – Skolem, που δεν είναι της στιγμής, αποδεικνύει ότι:
αν μία αριθμήσιμη συλλογή αξιωμάτων έχει ένα οποιοδήποτε μοντέλο, τότε μπορεί να έχει και ένα αριθμήσιμο μοντέλο!

- Δηλαδή το Μ περιέχει τους Φυσικούς αριθμούς και ικανοποιεί το αξίωμα του δυναμοσυνόλου και είναι και μεταβατικό...

ψιθύρισε διστακτικά αλλά κάπως ύποπτα η Αθηνά.

- Όπως είπαμε προηγουμένως, ναι...

Δεν χρειάστηκε να περάσει ούτε κλάσμα του δευτερολέπτου, πριν ξανακουστεί η φωνή της θριαμβευτική πλέον!

- Μα τότε παππού, το Μ περιέχει υπεραριθμήσιμα στοιχεία! Πριν ένα λεπτό είπαμε ότι το δυναμοσύνολο Ρ(Ν) του συνόλου των Φυσικών αριθμών, έχει πληθικό αριθμό c, μεγαλύτερο του Ν. Για την ακρίβεια απ’ ότι θυμάμαι το c ισούται με το 2 υψωμένο στον πληθάριθμο του Ν!

- Σωστά! Για σκέψου όμως! Εδώ είναι το κλειδί. Έχουμε ποτέ εποπτεία σε ολόκληρο το Ρ(Ν); Ή μήπως μόνο σε αριθμήσιμα το πλήθος και αριθμησίμως μεγάλα κομμάτια του μέσα στο Μ; Αυτό είναι το παράδοξο του Skolem. Δεν «βλέπουμε» ποτέ όλο το Ρ(Ν), παρ’ ότι αντιλαμβανόμαστε αριθμήσιμα κομμάτια του! Στην ουσία το μοντέλο μας αποτελείται από αριθμήσιμα αποτυπώματα όλων αυτών των πραγμάτων που ισχυρίζεται ότι περιέχει.

- Παρ’ ότι δυσκολεύομαι να το κατανοήσω και να το αποδεχθώ δείχνει ενδιαφέρον! Η σκέψη μας δηλαδή είναι σαν τη δέσμη φωτός ενός φακού που κινείται ελεύθερα πάνω από κάποιο «σκοτεινό γραπτό», φωτίζοντας όμως ένα περιορισμένο και συγκεκριμένου μεγέθους κομμάτι του κάθε φορά! Και έχει μπαταρία ο φακός μας για περιορισμένο αριθμό κομματιών!

«πετάχτηκε» η Όλγα.

- Μπορείς να το παρουσιάσεις κι’ έτσι. «Πλατωνικό» μεν αλλά άκρως παραστατικό! Εκείνο που μπορεί να αναρωτηθεί δικαίως κάποιος, είναι αν τα αντικείμενα αυτά –όπως το P(N) – παραμένουν ίδια κάτω απ’ αυτήν την οπτική του μοντέλου και δεν αλλάζουν. Καλύτερα μάλλον, αν τα αποτυπώματά τους μέσα στο μοντέλο τα χαρακτηρίζουν επαρκώς. Εδώ είναι που «πιάνει δουλειά» στην πραγματικότητα η περίφημη μεταβατικότητα που επικαλεστήκαμε προηγουμένως. Και τα κάνει όλα μέλι – γάλα.

Μ’ αυτά και με κείνα όμως δημιουργείται μια χωροταξική δομή στο σύμπαν μας. Τα «μέσα» στο μοντέλο και τα «έξω» απ’ αυτό.

- Και όχι μόνο θα έλεγα!

συμπλήρωσε η Αθηνά!

Η απελπισία στο πρόσωπο της Όλγας ήταν πια εμφανής.

- Έχει κι’ άλλα δηλαδή;

- Αυτά που είναι μέσα κι’ έξω! Αυτά που οι «κάτοικοι» του μοντέλου «αισθάνονται» την ύπαρξή τους αλλά που δεν μπορούν να τα περιγράψουν! Που μπορούν ίσως να τα ονοματίσουν αλλά δεν έχουν την δυνατότητα να τα καταδείξουν.

- Έχεις κάτι υπ’ όψιν σου, ή μιλάς στον αέρα;

- Μάλλον διαισθάνομαι ότι πρέπει να συμβαίνει κάτι τέτοιο. Για παράδειγμα χρησιμοποιούμε στην καθημερινή μας επικοινωνία έννοιες σαν την αγάπη, την ανδρεία, την αρετή κλπ. Αισθανόμαστε το τι σημαίνουν αλλά δεν μπορεί κανείς να τις ορίσει με απλά λόγια. Δεν είναι απτές. Μάλιστα αμφιβάλλουμε αν όλοι εννοούμε το ίδιο πράγμα χρησιμοποιώντας τις. Και στην όποια προσπάθεια ορισμού τους, χρησιμοποιούμε αν δεν κάνω λάθος εξ’ ίσου απροσδιόριστες έννοιες. Ένας φαύλος κύκλος. Όλα αυτά μου δείχνουν να είναι «έξω» μεν, αλλά ονοματισμένα με διαδικασίες από «μέσα».

Ο παππούς τις κοίταζε περήφανος. Τόσα νιάτα και τόση φαντασία. Ήταν αξιολάτρευτο! Αποφάσισε να τις διακόψει.


- Παρατηρήσατε ότι όλες αυτές οι «υψηλές» έννοιες είναι γένους θηλυκού;

- Πράγματι! Και επειδή δεν σε θεωρώ φεμινιστή - μια και η γιαγιά μαγειρεύει αυτή τη στιγμή – θα μας πεις πού το πας;

- Το ότι μαγειρεύει η γιαγιά δεν δείχνει ότι εγώ είμαι αντιφεμινιστής. Δείχνει ότι είναι προικισμένη μ’ εκείνη την τρυφερότητα που διαθέτουν οι γυναίκες – ειδικά οι «παλαιότερες» Ελληνίδες - για τους οικείους τους, που απαιτεί μάλιστα από τους άλλους σαν ανταπόδοση, την αποδοχή ενός ισχυρού «οικιακού» αυταρχισμού... Γι’ αυτό έχετε μπλεχτεί εσείς οι νεότερες, που θέλετε να διατηρήσετε τον αυταρχισμό χωρίς την αντίστοιχη προσφορά.

- Εξυπνάδες! Δεν μας είπες όμως τι εννοείς.

- Παρ’ ότι θα μίλαγα για άλλες ιδιότητες του θηλυκού, θα υποστηρίξω ότι είναι θηλυκές γιατί μπορούν να «γονιμοποιηθούν» μόνο σε μια ανδρική ψυχή... Έτσι για να σε εκνευρίσω λίγο παραπάνω.

- Παππού!

- Αστειεύομαι... Για να γυρίσουμε όμως στην παρατήρησή σου, που μου άρεσε πολύ, θα ήθελα να προσέξετε – γιατί θα μας χρησιμεύσει αργότερα μια και εκεί κατευθύνομαι – ότι κατά κάποιον τρόπο οι έννοιες αυτές «διατρέχουν πυκνά» το επιστητό μας. Δηλαδή τα πάντα μπορούν να συνδυασθούν τρόπον τινά ή να συγκριθούν υπό την έννοια «της αγάπης» για παράδειγμα.

- Και το κοκκινιστό με μακαρόνια;

- Ιδιαίτερα αυτό!

- Και λοιπόν;

- Το ερώτημα είναι ανήκουν στο επιστητό μας; Όπως είπες και συ δεν μπορούμε να αποφανθούμε γι’ αυτές με ακρίβεια. Είναι ονόματα που περιγράφουν κάτι που υποψιαζόμαστε αλλά δεν μπορούμε να ορίσουμε επακριβώς.

- Και συνδυάζονται όλες αυτές οι απόψεις με το forcing;

- Άμα το «ξεχειλώσει» κανείς το θέμα αρκετά! Ιδού πώς.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποια «εποπτεία» σε μια ομάδα στοιχείων S του αριθμήσιμου μεταβατικού μοντέλου μας Μ.

- Τι εννοείτε;

ρώτησε η Όλγα, που ήταν γνωστή για την επιμονή της να μην αφήνει τίποτα αδιασαφήνιστο στην κουβέντα

- Στα Μαθηματικά που συζητάμε αυτή τη στιγμή, η έννοια της «εποπτείας» αντιπροσωπεύεται από αυτήν του φίλτρου F. Δηλαδή μιας συλλογής υποσυνόλων του S μέσα στο Μ τέτοια ώστε το S να περικλείεται σ’ αυτήν. Να ανήκει στο F . «Καταλαβαίνουμε» δηλαδή αυτή την συλλογή S των στοιχείων του μοντέλου μας. Από την άλλη, το κενό σύνολο, το τίποτα, δεν ανήκει. Όλα τα στοιχεία του είναι απτά!. Επίσης αν τα σύνολα χ και ψ ανήκουν στο F τότε ανήκει σ’ αυτό και η τομή τους. Τα κοινά στοιχεία επομένως δύο κομματιών του S που όπως είπαμε καταλαβαίνουμε, έχουν αυτοδύναμη οντότητα στο χώρο της εποπτείας μας. Τα ξεχωρίζουμε και τα αντιλαμβανόμαστε επίσης.
Τελειώνοντας, αν χ ανήκει στο F και κάποιο υποσύνολο ψ του S το περιέχει, τότε και το ψ ανήκει στο F. Δηλαδή είναι κατανοήσιμη από μας κάθε «γενίκευση» ψ του χ, κάθε «περιέχον», που αποτελεί στοιχείο του χώρου εποπτείας μας.

«Φιλτράρουμε» έτσι με το F την ουσία του S! Ουσία, υπό την έννοια της προσέγγισης που έχουμε την δεδομένη στιγμή. Του συγκεκριμένου ενδιαφέροντός μας.

- Και το S τι το χρειαζόμαστε; Γιατί το βάζουμε στο παιγνίδι;

- Για να δώσουμε την δυνατότητα στο M να περιέχει πράγματα που δεν συμμετέχουν στη συγκεκριμένη συλλογή που μας ενδιαφέρει. Θα μπορούσε βέβαια κανείς να θεωρεί όλο το Μ στην θέση του S.

- Λίγο ακόμα και θα ξεφωνίσουμε ρε παππού...

- Υπομονή! Τα «ωραία» είναι και δύσκολα!

Έστω τώρα ότι έχει δημιουργηθεί μιας μορφής (μερική) διάταξη στο S. Κάποιοι κανόνες σύγκρισης. Μ’ αυτό εννοούμε ότι αν το τυχόν στοιχείο φ είναι «μικρότερο» ας πούμε από το ψ και αυτό από το ω τότε και το φ είναι μικρότερο από το ω (μεταβατικότητα). Επίσης αν το φ κατισχύει ως προς τη διάταξή μας του ψ και αντίστοιχα το ψ του φ, τότε τα δυο στοιχεία είναι ισοδύναμα (αντισυμμετρικότητα).

Απαιτούμε επιπρόσθετα η διάταξη αυτή να συνοδεύεται και από κάποιο αρχικό στοιχείο μέσα στο M. Κάπου να ξεκινάει. Αν δηλαδή η ανισοτική σχέση είναι της μορφής “≤” , θα συνοδεύεται κι’ από ένα στοιχείο του M που θα είναι μεγαλύτερο απ’ όλα τα στοιχεία του S. Το οποίο δεν χρειάζεται να είναι καθορισμένο! Μας αρκεί να υπάρχει.

- Ποιος την καθορίζει την διάταξη;

- Φυσικά εμείς! Δεν την κουβαλάει το μοντέλο μαζί του. Για να επαληθεύσει το γνωστό στους έχοντες κλασσική παιδεία.

«Πάντων χρημάτων μέτρον άνθρωπος. Των μεν όντων ως έστι, των δε μη όντων ως ουκ έστι» (Πρωταγόρας)

- Το φίλτρο το χρειαζόμαστε όπως είπες παππού για να καταλάβουμε το S. Δεκτό για την οικονομία της κουβέντας. Την διάταξη γιατί την βάζουμε στο παιγνίδι;

- Μα οι διατάξεις είναι αυτές που «νευρώνουν» τα πάντα. Δημιουργούν σχέσεις – πέρα απ’ αυτή «του περιέχεσθαι» - συγκρίσεις κλπ. Αλλιώς όλα είναι σε κατάσταση χυλού!

- Και πώς συνδυάζεται αυτή η διάταξη με το φίλτρο;

- Να πώς! Θεωρούμε (και μπορούμε να το κάνουμε αυτό επιλέγοντάς το κατάλληλα) ότι το φίλτρο μας τέμνει κάθε πυκνό υποσύνολο της διάταξής που έχουμε εφοδιάσει το μοντέλο μας. Είναι δηλαδή «σχετικό» με όλα τα πυκνά υποσύνολα της (generic).

- Πυκνό υποσύνολο;

- Δηλαδή για κάθε στοιχείο της διάταξης, υπάρχει κάποιο άλλο που ανήκει στο πυκνό αυτό σύνολο και κατισχύει του επιλεγέντος στοιχείου.


- Και γιατί αυτό το καπρίτσιο;

- Για ν’ αναγκάσουμε το φίλτρο που «διατρέχει κυριαρχικά» τη διάταξή μας, αυτή την «ιεράρχησή» μας των πραγμάτων, να είναι αρκετά μεγάλο και «ουσιαστικό».

- Ας το καταπιούμε κι’ αυτό...

- Ανακεφαλαιώνοντας, έχουμε ένα μοντέλο αριθμήσιμο και μεταβατικό, μια μερική διάταξη κι’ ένα generic φίλτρο. Σωστά;

- Σωστά!

- Εύκολα τώρα μπορεί κανείς να αποδείξει ότι αν η μερική διάταξή μας είναι τέτοια, που για κάθε στοιχείο της υπάρχουν δύο «ισχυρότερα» απ’ αυτό στοιχεία (μικρότερα ή μεγαλύτερα ανάλογα με τη διάταξη) τα οποία όμως δεν συγκρίνονται μεταξύ τους - αν δηλαδή όπως συμβαίνει και στη ζωή δεν μπαίνουν τα πάντα σε μια γραμμή, δεν είναι όλα «ναι,ναι ή ου,ου» που λένε και οι της εκκλησίας - τότε το φίλτρο μας δεν ανήκει στο μοντέλο! Δεν είναι στοιχείο του! Δεν το καταλαβαίνουμε! Δεν είναι «κτιστό»! Η απόδειξη είναι απλή και έξυπνη(**) αλλά όχι απαραίτητη για τη συνέχεια.

- Και τι σημαίνει αυτό;

ρώτησε με αδημονία η Όλγα.

- Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να επεκτείνουμε το μοντέλο μας όσο χρειάζεται, για να φτιάξουμε ένα μεγαλύτερο – ας το ονομάσουμε Μ[F] - που να περιέχει το F. Χοντρικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι αυτό είναι το ελάχιστο σύνολο όλων των συνόλων που παράγονται από το F χρησιμοποιώντας (προσοχή σ’ αυτό) τις συνολοθεωρητικές διαδικασίες που καθορίζονται μέσα στο Μ! Αυτές τις διαδικασίες δεν τις περιγράφω ξανά, μια και μπορείτε να θεωρήσετε ότι γίνονται ασυνείδητα αφού ταυτίζονται με τον τρόπο λειτουργίας του μυαλού μας που έχουμε εγκλείσει στο μοντέλο.

Κάθε στοιχείο της επέκτασής μας θα έχει κάποιο όνομα στο Μ, το οποίο υποδεικνύει πώς κατασκευάστηκε από το F. Οι «κάτοικοι» του αρχικού μοντέλου θα μπορούν να καταλάβουν το όνομα ενός αντικειμένου στο Μ[F] , αλλά δεν θα μπορούν να αποφασίσουν ποιο αντικείμενο ονομάζουν, μια και κάτι τέτοιο απαιτεί γνώση του φίλτρου, το οποίο δεν ανήκει στο αρχικό μοντέλο όπως είπαμε!

- Ενίσταμαι κύριε πρόεδρε! (η Αθηνά ήταν πραγματικά εκνευρισμένη... και η Όλγα δεν πήγαινε πίσω!)

Μας τάραξες με έμμεσο και δόλιο τρόπο στα Μαθηματικά - παρ’ ότι υποσχέθηκες ότι δεν θα το κάνεις – και όταν φτάσαμε στο «δια ταύτα» μας το γύρισες ουσιαστικά πίσω στη Θεολογία.

- Γιατί το λες αυτό;

- Μα παρατηρούμε κατ’ αρχήν ότι οι Μ-άνθρωποι δεν κατασκευάζουν το φίλτρο! Πιστεύουν ότι υπάρχει κάποιο ον στο σύμπαν – αυτό μάλλον είμαστε εμείς – για το οποίο το μοντέλο είναι αριθμήσιμο και μεταβατικό και έχει ένα κατάλληλο φίλτρο F στη διάθεσή του! Δεν αντιλαμβάνονται το φίλτρο – το οποίο όμως χρησιμοποιούν για να αντιληφθούν το S - αλλά έχουν ονόματα για τα στοιχεία του επεκτεταμένου μοντέλου που δημιουργείται απ’ αυτό! Δεν ξέρουν αν αυτά τα στοιχεία είναι αληθή ή ψευδή. Μπορούν απλά να ισχυρισθούν ότι:
αν ένα τέτοιο φίλτρο υπάρχει, τότε κάποιο «όνομα» στο επεκτεταμένο ένεκεν του F μοντέλο, αναγκάζεται να είναι αληθές! Είναι θεολογικά όλα αυτά ή δεν είναι;

- Δεν θα εμπλακώ σε τέτοια συζήτηση. Θα σου θυμίσω όμως ότι οι Μ-άνθρωποι μπορούν να τα ισχυρισθούν τα παραπάνω, μια και για την κατασκευή χρησιμοποιήθηκαν – όπως είπαμε - συνολοθεωρητικές διαδικασίες που καθορίζονται στο Μ!

Τώρα εμείς πράγματι μου φαίνεται – όπως είπες και συ - ότι είμαστε και μέσα και έξω απ’ το μοντέλο ταυτόχρονα. Γιατί κάνουμε όλη τη διαδικασία της σκέψης «από μέσα» με τους λίγους κανόνες που έχουμε στη διάθεσή μας. Παράλληλα επιβεβαιώνουμε την ύπαρξη του φίλτρου άρα και της διάταξης, καθώς και την αριθμησιμότητα του μοντέλου «απ’ έξω». Έχουμε το «θεϊκό αποτύπωμα» που λέγαμε...

Αλλά μήπως δεν είναι όλα αυτά συμβατά με την ύπαρξή μας την ίδια; Η «αγάπη» που συζητούσαμε πρωτύτερα, δεν καθορίζεται από μια διάταξη που μας λέει τι αγαπάμε περισσότερο από κάποιο άλλο; Αυτό μπορούμε να πούμε μόνο! Δεν έχουμε επίσης σ’ αυτήν τη διάταξη μη συγκρινόμενα μεταξύ τους αντικείμενα; Άλλη είναι η ερωτική αγάπη και άλλη αυτή προς το παιδί μας. Δεν διαφέρει από αυτές η αγάπη στη δουλειά, στην πατρίδα ή στο κοκκινιστό με μακαρόνια; Και η αίσθηση που παίρνουμε απ’ όλα αυτά, δεν μπορεί να συγκριθεί κάλλιστα με αυτή του generic φίλτρου, που όμως δεν είναι της εποπτείας μας; Είναι απ’ έξω και απλά φέρει ένα όνομα!

Ήταν η σειρά της Όλγας να επέμβει.

- Επειδή ίσως μας βοηθήσει να καταλάβουμε καλύτερα όλο αυτό το τρομακτικό κατασκεύασμα, υπάρχει κάποια περίπτωση που δεν γίνεται αυτή η «επέκταση»;

- Φυσικά! Αν για παράδειγμα η διάταξή μας δεν «διακλαδίζεται». Αν όπως απαιτούσαμε, για κάθε στοιχείο της δεν υπάρχουν δύο «ισχυρότερα» απ’ αυτό στοιχεία, τα οποία δεν συγκρίνονται μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει φίλτρο που ανήκει στο μοντέλο και έτσι όλα παίζονται «εντός». Ακινησία! Καμιά επιλογή. Καμία έκπληξη! Όλα προδιαγεγραμμένα...

Όπως για παράδειγμα ο άκρατος ατομικισμός στο πολιτικό γίγνεσθαι... Μια «διάταξη» στην οποία όλα είναι μόνα τους! Δεν μπορεί έτσι να παράγει αμφιλεγόμενες ιδέες. Που να τις δέχεσαι ή να τις αρνείσαι!

Εκείνη τη στιγμή η γιαγιά που άκουγε απ’ την κουζίνα και ήταν γνωστό ότι παρά τους «αιώνες» που ήταν μαζί με τον παππού δεν έπαψε ποτέ να τον ζηλεύει, όρμησε στο σαλόνι..


- Να του πείτε κορίτσια ν’ αφήσει τα υπόλοιπα «τρελά» και να σας εξηγήσει πώς παράγεται ο χαρακτηρισμός «τρελή ξανθιά», που έλεγε κι’ ο μουρντάρης ο Τσιτσάνης.

Μην περιμένοντας να «σπάσει» η στιγμιαία αλλά και εκρηκτική αμηχανία, αγνοώντας επιδεικτικά το κοκκίνισμα στα μάγουλα του παππού, συνέχισε ορμητικά.

- Είναι λέει - τάχα μου - ένα σύνολο θηλυκών ιδιοτήτων, που «διατρέχει» με καταλυτικό τρόπο το αξιακό σύστημα του Έλληνα άνδρα. Ένα φίλτρο που τέμνει κάθε πυκνό υποσύνολο της διάταξης που σχηματίζουν στο συνειδητό μα και στο ασυνείδητό του οι αρχές και οι επιθυμίες του. Έτσι, ζει αναγκαστικά σαν φαντασίωση, σαν ένα όνομα «έξω» από το μοντέλο σκέψης και ελέγχου του. Που δεν μπορεί ούτε να το δεχθεί – μια και τον βασανίζει - μα ούτε και να το απορρίψει. Ο Τσιτσάνης το 'λεγε από πηγαία διορατικότητα «γυναίκα του μπελά»! Γυναίκα ιδιαίτερη για τον καθένα. Ο οποίος «καθένας» - η άγρια αλλά και με μια περίεργη τρυφερότητα ματιά που του έριξε ήταν τόσο εύγλωττη - για να ολοκληρωθεί ο ανδρισμός του, θα πρέπει να επεκτείνει κάποια στιγμή το μοντέλο του, για να «ενσωματώσει» αυτό το «όνομα» σε κάτι πιο «ευρύ»... Άντε, γιατί κρατάω και το τηγάνι...

Τα κορίτσια «σκασμένα στα γέλια» από την τόσο μελετημένα διφορούμενη κατάληξη του συλλογισμού του παππού και την άγρια διεκδικητική θηλυκότητα της γιαγιάς, δεν μπορούσαν να αφήσουν την ευκαιρία ανεκμετάλλευτη!

- Και από πότε άρχισε να «λογικοποιεί» το τσιλιμπούρδισμα ο παππούς καλέ γιαγιά;

- Από πέρυσι το καλοκαίρι όταν τον συνέλαβα να χαζεύει μια μικρή, ζουμερή, σκανδαλιάρα Ηπειρώτισσα, που κάτι του θύμιζε λέει...

- Και την «ενσωμάτωσε»...;

Η αντίδραση του «ευέλικτου» παππού ήταν πια αναμενόμενη...

- Τέλος πάντων κοντεύει απόγευμα, οι σκιές μας άρχισαν να μακραίνουν και είναι σίγουρο ότι αν μας άκουγε κάποιος θετικιστής Μαθηματικός, θα υπεδείκνυε στην ανάλυσή μας ένα σωρό «συντακτικά» ατοπήματα, θυμίζοντάς μας ότι

«αυτά για τα οποία δεν μπορούμε να μιλήσουμε, πρέπει να τα προσπερνάμε σιωπηλοί...».

Πλην όμως εμείς μικρούλες μου που είμαστε νέοι και ερωτικοί, θα απαντήσουμε με την σπουδαία φράση του Κάμμινγκς:

«Όποιος δίνει σημασία στο συντακτικό των πραγμάτων, δεν φιλάει ποτέ αληθινά»

Πάω τώρα να βοηθήσω τη γιαγιά να στρώσει τραπέζι, αφού της πάρω το τηγάνι απ’ τα χέρια για παν ενδεχόμενο και να σας αφήσω να σκεφθείτε – μην αργήσετε όμως γιατί πεινάω- πώς θα βασανίσετε τα αγόρια! Που το ξέρετε πιο καλά απ’ όλους...




(*) Μια σύντομη περιγραφή δίνεται στο «Μέχρι πού ξέρεις να μετράς;»
(**) Ας υποθέσουμε ότι το μοντέλο μας περιέχει το F και ας καλέσουμε Δ ότι απομένει από το M αν αφαιρέσουμε το φίλτρο. Αφού το Μ ικανοποιεί τα αξιώματα της συνολοθεωρίας, θα περιέχει σαν στοιχείο και το Δ. Επιπλέον το Δ είναι πυκνό στην διάταξή μας. Διότι αν φ ένα στοιχείο της διάταξης και χ,ψ δύο άλλα στοιχεία της, τέτοια ώστε να ισχύει χ≤φ, ψ≤φ και να μην συγκρίνονται μεταξύ τους – ένας άλλος λόγος που απαιτήσαμε μια τέτοια ιδιότητα για την ανισότητα - τότε τουλάχιστον ένα από τα δύο θα ανήκει στο Δ! Αυτό γιατί το F δεν μπορεί να περιέχει και τα δύο μια και είναι φίλτρο! Που εξασφαλίζει ότι το Δ είναι πυκνό στη διάταξη! Επειδή όμως το φίλτρο τέμνει όλα τα πυκνά θα τέμνει και το Δ! Αδύνατο!

Χρονικό παράδοξο

Μια και ο καιρός είναι για «μέσα» , νά ένα παράδοξο ακόμη που παρουσιάστηκε από τον Robert Heinlein στο κλασσικό μυθιστορημά του "All You Zombies." . Θα μου πείτε γιατί ένα χρονικό παράδοξο στους «χαμένους μαθηματικούς»; Μα ποιός περιμένει πια το μυστήριο του χρόνου να το λύσουν οι Φυσικοί;!

Κόκκινη κλωστή δεμένη στην ανέμη τυλιγμένη, δώστης κλώτσο να κυλίσει, παραμύθι ν’ αρχινίσει../

Μια φορά κι’ ένα καιρό, ένα νεογέννητο κοριτσάκι εγκαταταλείφθηκε «μυστηριωδώς» σ’ ένα ορφανοτροφείο του Cleveland το 1945. Η "Jane" μεγάλωνε με την απορία για το ποιοί ήταν οι γονείς της να την βασανίζει. Έτσι γρήγορα όμως που μεγαλώνουν τα κοριτσάκια, δεν άργησε να έρθει η μέρα να ερωτευθεί ένα περιπλανώμενο τύπο, κάποια μέρα του 1963. Απ΄την πρώτη στιγμή που τον είδε, ένοιωσε γι’ αυτόν μια παράξενη έλξη, που της αδύνατον να αγνοήσει...

Καθώς όλα έδειχναν να πηγαίνουν καλά γι’ αυτήν, μια σειρά από καταστροφικά γεγονότα άρχισαν να την κυνηγούν. Αρχικά μένει έγκυος από τον περιπλανώμενο εραστή της, ο οποίος την εγκαταλείπει ανεξήγητα. Κατόπιν, ανακαλύπτει κατά την διάρκεια της εγκυμοσύνης της, ότι είναι κρυπτοερμαφρόδιτη! Μάλιστα οι γιατροί λόγω επιπλοκών κατά την γέννα, για να της σώσουν τη ζωή, αναγκάζονται να την μετατρέψουν χειρουργικά σε «άνδρα»! Και σαν να μην έφταναν όλα αυτά, ένας «μυστηριώδης» ξένος κλέβει το παιδί της από το μαιευτήριο! Κτυπημένη από τις καταστροφές αυτές, κοινωνικά περιφρονημένη, κυνηγημένη από την μοίρα, δεν ήταν δύσκολο να γίνει ένας περιπλανώμενος και μπεκρής.

Χρόνια αργότερα, το 1970, καθώς πίνει μόνος του σ’ ένα άθλιο μπαράκι – «το απρόοπτο» - εκμυστηρεύεται τα πάντα στον ηλικιωμένο μπάρμαν. Τα χαράματα και ενώ είχαν μείνει μόνοι τους, ο μπάρμαν του κάνει μια τρομακτική αποκάλυψη! Μπορούσε να εκδικηθεί τον «ξένο» που τον εγκατέλειψε έγκυο. Αρκεί να γινόταν μέλος των «χρονοταξιδιωτών». Μιας οργάνωσης αστυνομικών του μέλλοντος που επόπτευαν «διαχρονικά» τον νόμο! Κάτι σαν μοναχικοί χρονο-σερίφηδες! Μην έχοντας τίποτα να χάσει, δέχτηκε στη στιγμή.

Χωρίς χρονοτριβή, ακολούθησε τον μπάρμαν στο πίσω μέρος του μπαρ και μπήκαν μαζί σε μια χρονομηχανή που τους γύρισε πίσω στο 1963. Περιέργως μόλις έφτασε, πριν καλά-καλά συνέλθει, γνώρισε μια ορφανή κοπελίτσα και μέσα στο πάθος την αφήνει έγκυο. Ο μπάρμαν που παρακολουθούσε τα πάντα, βλέποντας το πράγμα να περιπλέκεται ταξιδεύει 9 μήνες μπροστά, κλέβει το νεογέννητο κοριτσάκι του φίλου του από το μαιευτήριο και για να μην αφήσει ίχνη το αφήνει σ’ ένα ορφανοτροφείο «πίσω» στο 1945. Κατόπιν παίρνει τον «περιπλανώμενο» φίλο του και τον μεταφέρει στο 1985 για να καταταγεί στους χρονοταξιδιώτες!

Έχοντας βρεί τελικά κάποιο σκοπό στην ζωή του (της), με τα χρόνια ο ήρωάς μας γίνεται ένα αξιοσέβαστο υψηλόβαθμο στέλεχος της οργάνωσης. Τότε είναι που αποφάσισε να αναλάβει την πλέον σημαντική του αποστολή. Ένα ραντεβού με την μοίρα! Μεταμφιέζεται σε έναν ηλικιωμένο μπάρμαν κάποιου άθλιου μπαρ με την επωνυμία «το απρόοπτο», για να συναντήσει κάποιον συγκεκριμμένο περιπλανώμενο μπεκρή στα 1970...



ΑΣΚΗΣΗ
Κατασκευάστε το οικογενειακό δέντρο του ήρωά μας.